نظریه انتگرال کوشی
نظریه انتگرال کوشی نشان میدهد که انتگرال کانتوری یک تابع هولومورفیک کاملاً توسط رفتار تابع در داخل کانتور کنترل میشود و فرمول انتگرال و حساب مانده را به دست میدهد.
Definition
نظریه انتگرال کوشی مطالعه انتگرالهای کانتوری توابع هولومورفیک است که بر ناپدید شدن انتگرالها در اطراف حلقههای انقباضپذیر و بازیابی یک تابع و مشتقات آن از انتگرالهای مرزی متمرکز است که منجر به حساب ماندهها میشود.
Scope
این موضوع شامل قضیه کوشی است که انتگرالهای توابع هولومورفیک در اطراف حلقههای انقباضپذیر ناپدید میشوند، فرمول انتگرال کوشی و تخمینهای مشتق آن، عدد پیچش و شکل هموتوپی قضیه، سری لوران و طبقهبندی تکینگیها، و قضیه مانده با کاربردهای آن در ارزیابی انتگرالها.
Core questions
- چرا انتگرال یک تابع هولومورفیک در اطراف یک منحنی بسته انقباضپذیر ناپدید میشود؟
- چگونه فرمول انتگرال کوشی مقادیر و مشتقات یک تابع را از یک کانتور بازیابی میکند؟
- مانده یک تابع در یک تکینگی چیست و چگونه محاسبه میشود؟
- چگونه قضیه مانده انتگرالهای حقیقی دشوار را به محاسبات جبری تبدیل میکند؟
Key theories
- قضیه و فرمول انتگرال کوشی
- انتگرال یک تابع هولومورفیک روی یک منحنی بسته انقباضپذیر صفر است و مقدار تابع در یک نقطه داخلی برابر با یک انتگرال مرزی وزندار است که از آن مشتقپذیری بینهایت و تخمینهای کوشی نتیجه میشود.
- قضیه مانده
- انتگرال یک تابع مرومورفیک در اطراف یک کانتور بسته برابر است با دو پی آی (2πi) ضربدر مجموع ماندهها در تکینگیهای محصور، که روشی سیستماتیک برای ارزیابی انتگرالهای حقیقی و مختلط ارائه میدهد.
Clinical relevance
حساب ماندهها ابزاری استاندارد برای ارزیابی انتگرالهای معین، معکوس کردن تبدیلهای لاپلاس و فوریه، و جمعبندی سریها در فیزیک و مهندسی است، در حالی که اصل آرگومان مشتق شده از نظریه کوشی، صفرها و قطبها را مکانیابی میکند و از تحلیل پایداری در نظریه کنترل پشتیبانی میکند.
History
کوشی قضیه و فرمول انتگرال را در دهههای ۱۸۲۰ و ۱۸۳۰ میلادی پایهگذاری کرد و رویکرد انتگرالی به تحلیل مختلط را بنیان نهاد. لوران بسط سری حول تکینگیها را در سال ۱۸۴۳ معرفی کرد و گورسات بعدها فرضیههای قضیه را به صرف مشتقپذیری تضعیف کرد.
Key figures
- Augustin-Louis Cauchy
- Pierre Alphonse Laurent
- Edouard Goursat
Related topics
Seminal works
- ahlfors1979
- stein2003complex
Frequently asked questions
- مانده چیست؟
- مانده ضریب جمله با توان منفی یک در بسط لوران یک تابع حول یک تکینگی منفرد است؛ این دقیقاً کمیتی است که از یک انتگرال کانتوری حول آن تکینگی باقی میماند.
- چرا انتگرالهای کانتوری مختلط میتوانند انتگرالهای حقیقی را ارزیابی کنند؟
- با بستن مسیر انتگرالگیری حقیقی به یک کانتور در صفحه مختلط، قضیه مانده انتگرال را به یک مجموع متناهی از ماندهها کاهش میدهد و اغلب یک انتگرال حقیقی غیرقابل حل را به جبر ساده تبدیل میکند.