Reciprocidad Cuadrática

La ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss denominó el teorema de oro, relaciona si un primo p es un cuadrado módulo q con si q es un cuadrado módulo p, proporcionando un criterio potente e inesperadamente simétrico para la solubilidad.

Definition

Un número entero es un residuo cuadrático módulo un primo p si es congruente con un cuadrado perfecto mod p. La reciprocidad cuadrática es el teorema que relaciona, para primos impares distintos p y q, la solubilidad de x al cuadrado congruente con q mod p con la de x al cuadrado congruente con p mod q.

Scope

Este tema abarca los residuos cuadráticos y no cuadráticos módulo un primo, el criterio de Euler, el símbolo de Legendre y su multiplicatividad, el símbolo de Jacobi, las dos leyes suplementarias (para menos uno y para dos), y la propia ley de reciprocidad principal, incluyendo su papel como la primera instancia de las leyes de reciprocidad de la teoría de cuerpos de clases.

Core questions

• Dado un primo impar p, ¿qué residuos son cuadrados y cómo lo decide el criterio de Euler?
• ¿Cómo codifican el símbolo de Legendre y el de Jacobi la información de los residuos y cómo se comportan multiplicativamente?
• ¿Qué afirma exactamente la ley de reciprocidad y cómo manejan los suplementos el menos uno y el dos?
• ¿Por qué se considera la reciprocidad cuadrática como el prototipo de las leyes de reciprocidad superiores de la teoría de cuerpos de clases?

Key theories

Criterio de Euler y el símbolo de Legendre

Un número entero a es un residuo cuadrático módulo un primo impar p exactamente cuando a elevado a (p menos uno)/2 es congruente con uno; el símbolo de Legendre registra este signo y es completamente multiplicativo en su argumento superior.

Ley de reciprocidad cuadrática

Para primos impares distintos p y q, el producto de los dos símbolos de Legendre es igual a menos uno elevado a la potencia ((p menos uno)/2)((q menos uno)/2), por lo que la reciprocidad falla solo cuando ambos primos son congruentes con tres módulo cuatro.

Leyes suplementarias y el símbolo de Jacobi

Reglas separadas determinan cuándo menos uno y dos son residuos, y el símbolo de Jacobi extiende el símbolo de Legendre a módulos compuestos, permitiendo un cálculo eficiente sin factorización.

Clinical relevance

La reciprocidad y el símbolo de Jacobi proporcionan algoritmos rápidos para decidir la residuocidad cuadrática, utilizados en pruebas de primalidad (Solovay-Strassen), en el cálculo de raíces cuadradas módulo primos y en esquemas criptográficos cuya seguridad se basa en la suposición de residuocidad cuadrática.

History

Conjeturada por Euler y Legendre, la ley fue demostrada por primera vez completamente por Gauss en 1796, quien volvió a ella repetidamente y ofreció ocho pruebas diferentes; actualmente se conocen más de doscientas pruebas. Su generalización a potencias superiores motivó a Eisenstein, Kummer y, en última instancia, a las leyes de reciprocidad de la teoría de cuerpos de clases.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

¿Por qué Gauss demostró el mismo teorema ocho veces?

Cada prueba iluminó diferentes estructuras (sumas de Gauss, conteo de puntos de celosía, ciclotomía), y Gauss buscaba una prueba que se generalizara a leyes de reciprocidad superiores, lo que más tarde impulsó el desarrollo de la teoría algebraica de números.

¿Cuál es la diferencia entre los símbolos de Legendre y Jacobi?

El símbolo de Legendre se define para un módulo primo impar y detecta los residuos cuadráticos exactamente; el símbolo de Jacobi lo generaliza a módulos compuestos impares para el cálculo, pero un valor de uno ya no garantiza que el número sea un residuo.