Último Teorema de Fermat

El Último Teorema de Fermat afirma que no hay tres enteros positivos que satisfagan la ecuación a elevado a la n más b elevado a la n es igual a c elevado a la n para cualquier exponente n mayor que dos — una afirmación que permaneció sin probar durante más de tres siglos hasta que fue resuelta mediante la modularidad de las curvas elípticas.

Definition

El Último Teorema de Fermat es la afirmación de que la ecuación x elevado a la n más y elevado a la n es igual a z elevado a la n no tiene solución en enteros positivos x, y, z siempre que el exponente entero n sea mayor que dos.

Scope

Este tema abarca el enunciado del Último Teorema de Fermat, su reducción a exponentes primos y a la curva de Fermat, el progreso de Kummer en el siglo XIX utilizando números ideales y primos regulares, la curva de Frey asociada a una solución hipotética, la conjetura épsilon probada por Ribet que la vincula con la modularidad, y la demostración de Wiles de la modularidad de las curvas elípticas semiestables que cierra el argumento.

Core questions

• ¿Por qué es suficiente probar el teorema para exponentes primos y para el exponente cuatro?
• ¿Hasta qué punto los métodos clásicos, especialmente la teoría de Kummer de números ideales y primos regulares, hicieron avanzar el problema?
• ¿Cómo convierte la curva de Frey una hipotética solución de Fermat en una curva elíptica con propiedades imposibles?
• ¿Cómo se combinan el teorema de Ribet y el teorema de modularidad para completar la demostración?

Key theories

Primos regulares de Kummer

Kummer demostró el Último Teorema de Fermat para todos los exponentes primos regulares utilizando números ideales, introduciendo en el proceso la maquinaria del grupo de clases de la teoría algebraica de números.

Curva de Frey y teorema de Ribet

Una solución no trivial de Fermat produciría la curva elíptica de Frey, que Ribet demostró que no podía ser modular; por lo tanto, la modularidad de tales curvas forzaría a que la ecuación de Fermat no tuviera soluciones.

Teorema de modularidad (Wiles-Taylor)

Wiles, con Taylor, demostró que las curvas elípticas racionales semiestables son modulares, lo que contradice la existencia de la curva de Frey y, por lo tanto, prueba el Último Teorema de Fermat.

Clinical relevance

Aunque el teorema en sí no tiene una aplicación directa, la maquinaria de la demostración —representaciones de Galois, teoría de deformaciones y levantamiento de modularidad— se convirtió en tecnología central en el programa de Langlands y en los métodos de geometría aritmética que también informan la criptografía de curva elíptica.

History

Fermat registró la afirmación alrededor de 1637 en el margen de su copia de Diofanto, afirmando una prueba que nunca escribió. Euler, Sophie Germain y Kummer resolvieron muchos casos durante los dos siglos siguientes; Frey, Serre y Ribet lo redujeron a la modularidad en la década de 1980, y Wiles anunció una prueba en 1993, completada con Taylor en 1994 y publicada en 1995.

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

¿Tenía Fermat realmente una prueba?

Casi con certeza no una prueba general correcta. Los métodos necesarios se desarrollaron solo en el siglo XX, y cualquier argumento del siglo XVII se habría basado en suposiciones, como la factorización única, que fallan en los anillos relevantes.

¿Cómo se relaciona una ecuación sobre potencias con las curvas elípticas?

Una solución hipotética puede empaquetarse en la curva elíptica de Frey; sus propiedades aritméticas contradirían el teorema de modularidad, por lo que la modularidad de las curvas elípticas obliga a que la ecuación original sea irresoluble.