Números p-ádicos

Los números p-ádicos forman una completación alternativa de los racionales, una para cada primo p, en la que la cercanía se mide por la divisibilidad en lugar del tamaño; localizan la teoría de números y revelan una aritmética que los números reales ocultan.

Definition

Para un número primo p, los números p-ádicos son la completación de los números racionales con respecto al valor absoluto p-ádico, en el que un número es pequeño cuando es divisible por una potencia alta de p; forman un cuerpo que es un cuerpo local prototípico.

Scope

Esta área cubre el valor absoluto p-ádico y la construcción de los números p-ádicos como una completación de los racionales, la estructura de los cuerpos p-ádicos y los cuerpos locales más generales, el análisis p-ádico incluyendo la convergencia, las exponenciales y logaritmos p-ádicos, el lema de Hensel y el principio local-global por el cual la resolución de una ecuación sobre los racionales se estudia a través de todas sus completaciones reales y p-ádicas.

Sub-topics

• El Principio Local-Global
• Análisis p-ádico
• Campos p-ádicos y Campos Locales

Core questions

• ¿Cómo redefine la distancia el valor absoluto p-ádico y cómo la completación de los racionales produce el cuerpo p-ádico?
• ¿Cuál es la estructura algebraica y topológica de los cuerpos p-ádicos y de los cuerpos locales generales?
• ¿Cómo funciona el análisis p-ádicamente y qué nos permite resolver el lema de Hensel?
• ¿Cómo relaciona el principio local-global la solubilidad racional con la solubilidad sobre los reales y todos los cuerpos p-ádicos?

Key theories

Completación p-ádica y teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski clasifica todos los valores absolutos sobre los racionales como el usual y los p-ádicos; la completación con respecto a cada uno produce los números reales y los cuerpos p-ádicos, los cuerpos locales de característica cero.

Lema de Hensel

Un polinomio con una raíz simple módulo p tiene una raíz p-ádica única que se reduce a ella, por lo que resolver ecuaciones p-ádicamente se reduce a resolverlas módulo p y elevarlas, un método de Newton p-ádico.

Principio local-global (de Hasse)

Para muchas ecuaciones, especialmente las formas cuadráticas, la solubilidad sobre los racionales es equivalente a la solubilidad sobre los reales y sobre cada cuerpo p-ádico, lo que enfoca los problemas globales en problemas locales.

Clinical relevance

Los cuerpos locales y los métodos p-ádicos son indispensables en la geometría aritmética moderna y el programa de Langlands; las funciones L p-ádicas y las representaciones de Galois también informan conjeturas (como la de Birch-Swinnerton-Dyer) cuyo estudio computacional apoya la criptografía de curva elíptica.

History

Hensel introdujo los números p-ádicos alrededor de 1897 por analogía con las series de potencias en los cuerpos de funciones. Hasse desarrolló el principio local-global en la década de 1920, y el punto de vista p-ádico se volvió central a través del trabajo de Tate, Iwasawa y otros sobre cuerpos locales, funciones L p-ádicas y geometría aritmética.

Key figures

• Kurt Hensel
• Helmut Hasse
• Jean-Pierre Serre

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

¿En qué sentido dos números están p-ádicamente cerca?

Dos enteros están p-ádicamente cerca cuando su diferencia es divisible por una potencia alta del primo p; así, por ejemplo, las potencias grandes de p están p-ádicamente cerca de cero, lo opuesto a la intuición ordinaria.

¿Por qué introducir los números p-ádicos?

Localizan la aritmética en un solo primo, haciendo que muchos problemas sean tratables: las ecuaciones se pueden estudiar un primo a la vez, y el principio local-global ensambla estas soluciones locales en conclusiones globales.