Campos p-ádicos y Campos Locales

El campo p-ádico se construye completando los racionales para el valor absoluto p-ádico; su anillo de enteros p-ádicos, campo residual y uniformizador lo convierten en el ejemplo modelo de un campo local, el hogar natural de la aritmética en un solo primo.

Definition

El valor absoluto p-ádico de un número racional se determina por la potencia de p que lo divide. El campo de los números p-ádicos es la completación de los racionales bajo este valor absoluto; un campo local es un campo completo con respecto a una valoración discreta y que tiene un campo residual finito.

Scope

Este tema abarca la valoración p-ádica y el valor absoluto, la desigualdad ultramétrica, la clasificación de Ostrowski de los valores absolutos en los racionales, la construcción de los números p-ádicos y el anillo de enteros p-ádicos, el ideal maximal, el campo residual y el uniformizador, la descripción de elementos mediante expansiones de dígitos p-ádicos, el lema de Hensel para el levantamiento de raíces, y la noción general de un campo local como un campo completo discretamente valorado con campo residual finito.

Core questions

• ¿Cómo se define el valor absoluto p-ádico y por qué satisface la fuerte desigualdad ultramétrica?
• ¿Por qué el teorema de Ostrowski afirma que estos son esencialmente los únicos valores absolutos en los racionales además del usual?
• ¿Qué son los enteros p-ádicos y cómo describen su estructura las expansiones de dígitos y el campo residual?
• ¿Cómo levanta el lema de Hensel las soluciones del campo residual al campo local completo?

Key theories

Teorema de Ostrowski y completaciones

Todo valor absoluto no trivial en los racionales es equivalente al ordinario o a uno p-ádico; la completación bajo cada uno da los números reales o un campo p-ádico, exhibiendo todos los lugares de los racionales.

Estructura de los enteros p-ádicos

Los enteros p-ádicos forman un anillo local compacto con ideal maximal generado por p y campo residual los enteros módulo p; cada número p-ádico tiene una expansión única en base p posiblemente infinita a la derecha.

Lema de Hensel

Una raíz simple de un polinomio módulo p se eleva de forma única a una raíz en los enteros p-ádicos; esto hace que el campo local se comporte como una ampliación algebraicamente conveniente del campo residual.

Clinical relevance

Los campos locales son el escenario para la teoría de campos de clases local y para los componentes locales de las representaciones automórficas en el programa de Langlands; el levantamiento de Hensel es también una herramienta algorítmica en la factorización de polinomios y en el cálculo rápido módulo potencias primas.

History

Hensel introdujo los números p-ádicos en 1897 para importar técnicas de series de potencias a la teoría de números, y demostró el lema de levantamiento que lleva su nombre. Ostrowski clasificó los valores absolutos en los racionales en 1916, aclarando que las completaciones reales y p-ádicas agotan las posibilidades y fundamentando el punto de vista local.

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

¿Qué es un uniformizador?

Es un generador del ideal maximal del anillo de valoración de un campo local; para los números p-ádicos, el propio primo p sirve como uniformizador, y cada elemento no nulo es una unidad multiplicada por una potencia de él.

¿Por qué los enteros p-ádicos son compactos?

Son un límite inverso de los anillos finitos de enteros módulo potencias de p, lo que los convierte en un conjunto cerrado y acotado en la métrica p-ádica y, por lo tanto, compacto, a diferencia de los enteros ordinarios.