Escalamiento Multidimensional
El escalamiento multidimensional posiciona objetos en un espacio de baja dimensión de modo que las distancias entre objetos reproduzcan una matriz dada de disimilitudes lo más fielmente posible.
Definition
El escalamiento multidimensional es una familia de métodos que incrustan objetos como puntos en un espacio de baja dimensión, de modo que las distancias entre los puntos aproximan las disimilitudes por pares observadas bajo un criterio de pérdida elegido.
Scope
Este tema abarca el escalamiento clásico (métrico), en el que una configuración se recupera exactamente a partir de distancias euclidianas mediante una descomposición propia de una matriz de distancias doblemente centrada, y el escalamiento no métrico, que preserva solo el orden de rango de las disimilitudes minimizando un criterio de estrés. Aborda la relación con el análisis de coordenadas principales y la evaluación del ajuste.
Core questions
- Dadas solo las disimilitudes por pares, ¿cómo se pueden posicionar los objetos en un espacio de baja dimensión?
- ¿Cuándo se puede recuperar una configuración exactamente y cuándo se debe optimizar el ajuste de forma iterativa?
- ¿Cómo se mide la calidad de una solución de escalamiento?
- ¿Cómo se relaciona el escalamiento métrico con el análisis de componentes principales y el análisis de coordenadas principales?
Key theories
- Escalamiento clásico (métrico)
- Cuando las disimilitudes son distancias euclidianas, el doble centrado de la matriz de distancias al cuadrado produce una matriz semidefinida positiva cuyos vectores propios principales proporcionan las coordenadas, recuperando la configuración hasta la rotación y la traslación.
- Escalamiento no métrico y minimización del estrés
- Cuando solo el orden de las disimilitudes es significativo, una transformación monótona y una minimización iterativa de una función de estrés ajustan una configuración cuyas distancias están relacionadas monótonamente con las disimilitudes.
Clinical relevance
El escalamiento multidimensional se utiliza para visualizar datos de similitud, como juicios perceptuales, distancias genéticas o geográficas, y proximidades de documentos o redes, convirtiendo una matriz de disimilitud en un mapa interpretable.
History
El escalamiento métrico fue formalizado a mediados del siglo XX y conectado a las coordenadas principales por Gower, mientras que Kruskal y Shepard introdujeron el escalamiento no métrico basado en la minimización monótona del estrés, ampliando el método a datos de disimilitud ordinales.
Key figures
- Warren Torgerson
- Joseph Kruskal
- John Gower
Related topics
Seminal works
- mardia1979
- coxcox2001
- borg2005
Frequently asked questions
- ¿Cómo se relaciona el MDS clásico con el PCA?
- Cuando las disimilitudes son distancias euclidianas calculadas a partir de datos, el escalamiento clásico produce la misma configuración de baja dimensión que el análisis de componentes principales de los datos centrados.
- ¿Qué es el estrés en el escalamiento multidimensional?
- El estrés es una medida normalizada de la discrepancia entre las distancias inter-punto ajustadas y las disimilitudes objetivo; un estrés más bajo indica una configuración con un mejor ajuste.