Cuadrados latinos y geometrías finitas

Un cuadrado latino es una matriz cuadrada en la que cada símbolo aparece una vez por fila y columna, y las geometrías finitas son sistemas de incidencia altamente estructurados sobre un número finito de puntos y líneas.

Definition

Un cuadrado latino de orden n es una matriz de n por n rellena con n símbolos de modo que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna; un plano proyectivo finito es una estructura de incidencia de puntos y líneas en la que dos puntos cualesquiera se encuentran en una línea única y dos líneas cualesquiera se intersecan en un punto único.

Scope

Este tema trata sobre los cuadrados latinos y los cuadrados latinos mutuamente ortogonales, su equivalencia con las redes y los diseños transversales, y los planos proyectivos y afines finitos construidos a partir de campos finitos. Incluye la conjetura clásica de Euler sobre los cuadrados ortogonales y la profunda conexión entre los cuadrados latinos mutuamente ortogonales y los planos proyectivos finitos.

Core questions

• ¿Cuántos cuadrados latinos mutuamente ortogonales de un orden dado pueden existir?
• ¿Para qué órdenes existen conjuntos completos de cuadrados ortogonales y, por lo tanto, planos proyectivos?
• ¿Cómo construyen los campos finitos planos y cuadrados ortogonales?
• ¿Qué axiomas de incidencia definen las geometrías afines y proyectivas sobre conjuntos finitos?

Key concepts

• Cuadrado latino
• Cuadrados latinos mutuamente ortogonales
• Diseños transversales y redes
• Plano proyectivo finito
• Plano afín
• Campos de Galois (finitos)

Key theories

MOLS y planos proyectivos

Un conjunto completo de n-1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden n existe si y solo si existe un plano proyectivo finito de orden n, lo que vincula la combinatoria de cuadrados latinos con la geometría finita.

Refutación de la conjetura de Euler

Euler conjeturó que no existe un par de cuadrados latinos ortogonales para órdenes congruentes a 2 módulo 4; Bose, Shrikhande y Parker refutaron esto en 1960 para todos esos órdenes, excepto 2 y 6.

Clinical relevance

Los cuadrados latinos proporcionan diseños experimentales de filas y columnas que controlan dos fuentes de variación simultáneamente, los arreglos ortogonales apoyan los experimentos factoriales y las pruebas de software, y las geometrías finitas generan códigos y diseños.

History

Euler estudió los cuadrados latinos ortogonales en 1782 a través de su problema de los treinta y seis oficiales; su conjetura se mantuvo hasta la refutación de 1960 por Bose, Shrikhande y Parker, los llamados “Euler spoilers”.

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

¿Qué significa que dos cuadrados latinos sean ortogonales?

Cuando los dos cuadrados se superponen, cada par ordenado de símbolos aparece exactamente una vez, por lo que los cuadrados distinguen conjuntamente cada celda de la cuadrícula.

¿Es una cuadrícula de Sudoku un cuadrado latino?

Un Sudoku completado es un cuadrado latino de orden nueve con la restricción adicional de que cada caja de tres por tres también contiene cada símbolo una vez.