Métodos de Volumen Finito

Los métodos de volumen finito discretizan las leyes de conservación dividiendo el dominio en volúmenes de control y actualizando el valor promedio en cada uno a partir de los flujos a través de sus límites, conservando la masa, el momento y la energía por construcción.

Definition

Un método de volumen finito es una discretización de una ley de conservación que almacena el promedio de la solución sobre cada volumen de control y evoluciona estos promedios equilibrando los flujos numéricos a través de los límites del volumen, de modo que el esquema discreto es local y globalmente conservador.

Scope

Este tema cubre la forma integral (de conservación) de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), las incógnitas promediadas por celda y las funciones de flujo numérico, el método de Godunov y los solucionadores de Riemann aproximados, los esquemas de alta resolución con limitadores de pendiente que suprimen las oscilaciones espurias cerca de las ondas de choque, y el papel de los métodos de volumen finito en la dinámica de fluidos computacional.

Core questions

• ¿Por qué trabajar a partir de la forma integral de conservación hace que el método sea inherentemente conservador?
• ¿Cómo se definen los flujos numéricos en las interfaces de las celdas y qué hace que un flujo sea consistente y estable?
• ¿Cómo capturan las discontinuidades, como las ondas de choque, los esquemas de tipo Godunov y los solucionadores de Riemann?
• ¿Cómo evitan los métodos de alta resolución las oscilaciones de los esquemas de orden superior cerca de las discontinuidades?

Key theories

Conservación y el flujo numérico

Al actualizar los promedios de las celdas utilizando un único flujo numérico compartido entre celdas adyacentes, el método conserva la cantidad subyacente exactamente; la consistencia del flujo con el flujo verdadero y una condición de estabilidad adecuada producen la convergencia a soluciones débiles de la ley de conservación.

Métodos de Godunov y solucionadores de Riemann

El enfoque de Godunov trata cada interfaz de celda como un problema de Riemann local cuya solución (exacta o aproximada) define el flujo, lo que permite que el esquema capture las ondas de choque y las discontinuidades de contacto de forma nítida y correcta.

Esquemas de alta resolución y limitadores

Para superar la precisión de primer orden de los esquemas básicos de Godunov sin introducir oscilaciones espurias, los métodos de alta resolución reconstruyen estados de interfaz de orden superior y aplican limitadores de pendiente o de flujo que imponen una propiedad de variación total decreciente cerca de las discontinuidades.

Mechanisms

La integración de la ley de conservación sobre un volumen de control convierte las derivadas espaciales en flujos superficiales, por lo que la tasa de cambio de un promedio de celda es igual al flujo neto a través de sus caras. Debido a que las celdas adyacentes comparten cada flujo de cara, lo que sale de una celda entra en su vecina y la cantidad total se conserva exactamente. El flujo de interfaz se calcula resolviendo, de forma exacta o aproximada, el problema de Riemann planteado por los diferentes estados en cada lado; esto captura la estructura de las ondas y las discontinuidades. Las variantes de alta resolución primero reconstruyen un perfil de orden superior dentro de cada celda y lo limitan para evitar nuevos extremos, logrando una precisión de segundo orden en regiones suaves mientras se mantienen libres de oscilaciones en las ondas de choque.

Clinical relevance

Los métodos de volumen finito son la discretización estándar en la dinámica de fluidos computacional y son fundamentales para simular flujos compresibles e incompresibles, aerodinámica, fenómenos de choque y detonación, flujos de aguas poco profundas y atmosféricos y oceánicos, y simulación de medios porosos y yacimientos, precisamente porque respetan las leyes físicas de conservación y manejan las discontinuidades de manera robusta.

History

El enfoque conservador basado en el problema de Riemann se originó con el esquema de Godunov de 1959; el desarrollo de métodos de alta resolución, de variación total decreciente y limitadores por van Leer, Harten y otros en las décadas de 1970 y 1980 hizo de los métodos de volumen finito el marco dominante para el flujo compresible y otras leyes de conservación hiperbólicas.

Key figures

• Sergei Godunov
• Peter Lax
• Bram van Leer
• Randall J. LeVeque
• Eleuterio Toro

Seminal works

• leveque2002
• toro2009

Frequently asked questions

¿Por qué los métodos de volumen finito son conservadores?

Actualizan los promedios de las celdas utilizando flujos compartidos entre celdas vecinas, por lo que cualquier cantidad que sale de una celda entra exactamente en la adyacente. Sumando sobre todo el dominio, la cantidad total cambia solo a través del límite del dominio, lo que refleja la ley de conservación física.

¿Por qué se necesitan limitadores cerca de las ondas de choque?

Los esquemas simples de orden superior producen oscilaciones espurias (sobrepasos y subpasos) cerca de las discontinuidades. Los limitadores de pendiente y de flujo detectan gradientes pronunciados y reducen localmente el orden de reconstrucción, manteniendo la solución monótona y libre de oscilaciones, al tiempo que preservan la precisión en regiones suaves.