Curvas elípticas

Una curva elíptica es una curva cúbica suave cuyos puntos poseen una ley de grupo natural; sobre los racionales, este grupo se genera finitamente, lo que convierte a las curvas elípticas en una familia de ecuaciones diofánticas excepcionalmente manejable pero profunda.

Definition

Una curva elíptica sobre un campo es una curva proyectiva suave de género uno con un punto base elegido; equivalentemente, salvo en características pequeñas, es el conjunto de soluciones de una cúbica de Weierstrass junto con un punto en el infinito, formando un grupo abeliano.

Scope

Este tema abarca las ecuaciones de Weierstrass y el discriminante y el j-invariante, la ley de grupo de cuerda y tangente, las curvas elípticas sobre los racionales y el teorema de Mordell-Weil, los subgrupos de torsión y la clasificación de Mazur, el rango y los métodos de descenso, la reducción módulo primos y la imagen local-global, la función L de una curva elíptica, y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer que relaciona el rango con el orden de anulación de esa función L.

Core questions

• How does the chord-and-tangent construction make the points of an elliptic curve into an abelian group?
• Why is the group of rational points finitely generated, and how are its rank and torsion determined?
• How does reduction modulo a prime relate the curve to curves over finite fields and to its L-function?
• What does the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture predict about the rank?

Key theories

Ley de grupo y teorema de Mordell-Weil

Tres puntos en una línea sobre una curva elíptica suman la identidad, dando un grupo abeliano; sobre los racionales, este grupo se genera finitamente, siendo igual a una parte de torsión finita más una parte libre de cierto rango.

Torsión y teorema de Mazur

El subgrupo de torsión de una curva elíptica racional es uno de quince grupos explícitos (teorema de Mazur), por lo que el único misterio en Mordell-Weil es el rango.

Funciones L y Birch-Swinnerton-Dyer

Se conjetura que la función L de Hasse-Weil, construida a partir de los recuentos de puntos módulo primos, se anula en el punto central con un orden igual al rango, un problema del Premio del Milenio parcialmente probado en casos de bajo rango.

Clinical relevance

Las curvas elípticas sobre campos finitos impulsan la criptografía de curva elíptica, incluyendo el intercambio de claves y las firmas digitales, cuya eficiencia y seguridad se basan en la ley de grupo y la dificultad del problema del logaritmo discreto de curva elíptica; también subyacen a las propuestas post-cuánticas basadas en isogenias.

History

Las curvas elípticas surgieron de las integrales elípticas estudiadas por Abel y Jacobi. Poincaré y Mordell establecieron la ley de grupo y la generación finita sobre los racionales a principios del siglo XX; Weil generalizó esto a variedades abelianas, y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer surgió de experimentos numéricos en la década de 1960.

Key figures

• Louis Mordell
• Andre Weil
• Barry Mazur
• Bryan Birch
• Peter Swinnerton-Dyer

Seminal works

• silverman2009

Frequently asked questions

¿Las curvas elípticas tienen forma de elipses?

No. El nombre proviene de las integrales elípticas utilizadas para calcular las longitudes de arco de las elipses; una curva elíptica es una curva cúbica y no se parece en nada a una elipse.

¿Cuál es el rango de una curva elíptica?

Es el número de puntos racionales independientes de orden infinito; calcularlo es difícil, y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer lo relaciona con el comportamiento de la función L de la curva en el punto central.