Variedades afines y proyectivas

Las variedades son los conjuntos de soluciones geométricas de ecuaciones polinómicas, estudiadas en el espacio afín y, al añadir puntos en el infinito, en el entorno más uniforme del espacio proyectivo.

Definition

Una variedad afín es el conjunto de ceros común en el espacio afín de una colección de polinomios; una variedad proyectiva es el conjunto de ceros análogo de polinomios homogéneos en el espacio proyectivo, donde la geometría es compacta y la teoría de la intersección se comporta bien.

Scope

Este tema desarrolla las variedades afines como lugares geométricos de ceros de polinomios, la topología de Zariski y la correspondencia entre variedades e ideales radicales proporcionada por el Nullstellensatz de Hilbert. Introduce el anillo de coordenadas y el campo de funciones, los mapas regulares y racionales, y el paso al espacio proyectivo y las variedades proyectivas donde se cumplen el teorema de Bézout y la ausencia de comportamiento excepcional en el infinito. La dimensión, la irreducibilidad y los puntos singulares frente a los lisos se tratan como los invariantes geométricos básicos.

Core questions

• ¿Cómo el Nullstellensatz precisa la correspondencia entre variedades e ideales?
• ¿Por qué el espacio proyectivo es el hogar natural de las variedades y qué soluciona la adición de puntos en el infinito?
• ¿Cómo son el anillo de coordenadas y el campo de funciones de una variedad sus sombras algebraicas?
• ¿Qué distingue los puntos lisos de los puntos singulares y cómo se define la dimensión algebraicamente?

Key concepts

• Variedades afines y la topología de Zariski
• Nullstellensatz de Hilbert y la correspondencia ideal-variedad
• Anillo de coordenadas, campo de funciones y mapas racionales
• Espacio proyectivo y variedades proyectivas
• Dimensión, irreducibilidad y puntos lisos frente a singulares

Clinical relevance

Las variedades son los objetos básicos estudiados en toda la geometría algebraica y sus aplicaciones, desde las curvas elípticas en criptografía y teoría de números hasta los modelos proyectivos utilizados en visión por computadora y los conjuntos de soluciones analizados en estadística algebraica.

History

El estudio de curvas y superficies mediante ecuaciones polinómicas se remonta al siglo XIX; el Nullstellensatz de Hilbert (1893) y la introducción de Zariski de herramientas topológicas y algebraicas rigurosas en las décadas de 1930 y 1940 establecieron la variedad como un objeto preciso, el punto de partida de la materia moderna.

Key figures

• David Hilbert
• Oscar Zariski
• Robin Hartshorne

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

¿Qué establece el Nullstellensatz de Hilbert?

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, establece una biyección entre variedades afines e ideales radicales del anillo de polinomios, de modo que la contención geométrica y la intersección corresponden exactamente a operaciones algebraicas sobre ideales.

¿Por qué trabajar en el espacio proyectivo en lugar del espacio afín?

El espacio proyectivo compactifica el espacio afín añadiendo puntos en el infinito, lo que hace que las variedades sean compactas, elimina casos especiales (las líneas paralelas se encuentran) y produce resultados de intersección claros como el teorema de Bézout.