Pfadintegrale und Störungstheorie

Das Pfadintegral drückt Quantenamplituden als Summe über alle möglichen Feldkonfigurationen aus und bildet die Grundlage für perturbative Berechnungen, die durch Feynman-Diagramme organisiert sind.

Definition

Das Pfadintegral ist eine Formulierung der Quantentheorie, bei der die Übergangsamplitude zwischen Zuständen durch eine gewichtete Summe über alle Feldkonfigurationen gegeben ist, und die Störungstheorie ist die Entwicklung wechselwirkender Amplituden in Potenzen der Kopplungskonstante, die diagrammatisch durch Feynman-Diagramme dargestellt wird.

Scope

Dieses Thema behandelt Feynmans Pfadintegral-Formulierung der Quantenmechanik und Feldtheorie, bei der Wahrscheinlichkeitsamplituden durch Summierung von Beiträgen aus jeder möglichen Historie, gewichtet nach der Wirkung, berechnet werden. Es behandelt die systematische Entwicklung wechselwirkender Theorien in Potenzen der Kopplung, die Übersetzung jedes Terms in Feynman-Diagramme mit Propagatoren und Vertices sowie die Extraktion von Streuquerschnitten und Zerfallsraten aus diesen Amplituden.

Core questions

• Wie reproduziert die Summierung über alle möglichen Historien die Quantendynamik?
• Wie wird eine wechselwirkende Feldtheorie als Reihe in der Kopplungskonstante entwickelt?
• Wie kodieren Feynman-Diagramme die Terme der perturbativen Entwicklung?
• Wie werden messbare Wirkungsquerschnitte und Zerfallsraten aus Streuamplituden extrahiert?

Key concepts

• Summe über Historien
• Wirkung und der Phasenfaktor
• Feynman-Propagatoren
• Wechselwirkungs-Vertices
• Tree-Level- und Loop-Diagramme
• Wirkungsquerschnitte und Zerfallsraten

Key theories

Pfadintegral-Formulierung

Quantenamplituden werden durch Integration des Phasenfaktors exp(iS) über alle Feldkonfigurationen erhalten, wobei der klassische Pfad im Grenzfall, in dem die Wirkung groß im Vergleich zur Planck-Konstante ist, wiederhergestellt wird.

Diagrammatische Störungstheorie

Jede Ordnung in der Kopplungsentwicklung entspricht einem Satz von Feynman-Diagrammen, deren Linien und Vertices durch feste Regeln in mathematische Beiträge zur Streuamplitude übersetzt werden.

Clinical relevance

Pfadintegrale und Störungstheorie liefern das Standardinstrumentarium zur Vorhersage von Collider-Beobachtungsgrößen, liegen der Gittereichtheorie und der Monte-Carlo-Simulation der starken Wechselwirkung zugrunde und bieten Methoden, die auf die statistische Mechanik und die Festkörperphysik übertragen werden können.

History

Aufbauend auf einem Vorschlag von Dirac formulierte Feynman 1948 den Pfadintegralansatz zur Quantenmechanik und entwickelte die nach ihm benannten diagrammatischen Regeln für die Quantenelektrodynamik. Dyson zeigte die Äquivalenz von Feynmans Diagrammen mit den Operatormethoden von Schwinger und Tomonaga, und das Pfadintegral wurde später zum bevorzugten Rahmen für die Quantisierung von Eichtheorien und die Formulierung der Gitterfeldtheorie.

Key figures

• Richard Feynman
• Paul Dirac
• Freeman Dyson

Seminal works

• feynman1948
• feynmanhibbs1965

Frequently asked questions

Was bedeutet es, über alle Pfade zu summieren?

Im Pfadintegral trägt jede denkbare Historie, die den Anfangs- und Endzustand verbindet, eine komplexe Phase zur Amplitude bei. Die Pfade interferieren, und der dominante Beitrag nahe dem klassischen Pfad ergibt sich, wenn die Wirkung groß ist.

Sind Feynman-Diagramme wörtliche Bilder von Teilchenpfaden?

Nein. Feynman-Diagramme sind Hilfsmittel zur Buchführung für Terme in der perturbativen Entwicklung. Ihre Linien stellen Propagatoren dar und ihre Vertices stellen Wechselwirkungen dar, nicht tatsächliche Trajektorien von Teilchen im Raum.