Zusammenhang

Zusammenhang beschreibt die Eigenschaft eines Raumes, aus einem einzigen Stück zu bestehen – er kann nicht in zwei disjunkte, nichtleere offene Teile zerlegt werden – und ist der topologische Grund, warum der Zwischenwertsatz gilt.

Definition

Ein topologischer Raum ist zusammenhängend, wenn er nicht als Vereinigung zweier disjunkter, nichtleerer offener Mengen geschrieben werden kann; er ist wegzusammenhängend, wenn beliebige zwei seiner Punkte durch einen stetigen Weg verbunden sind.

Scope

Dieses Thema definiert Zusammenhang und den verwandten, stärkeren Begriff der Wegzusammenhang, zusammen mit ihren lokalen Versionen (lokaler Zusammenhang, lokaler Wegzusammenhang). Es behandelt Zusammenhangskomponenten und Wegkomponenten, das Verhalten des Zusammenhangs unter stetigen Abbildungen, Produkten und Vereinigungen sowie die Standardbeispiele, die eine Trennung aufzeigen, wie die Topologen-Sinuskurve, bei der Zusammenhang und Wegzusammenhang auseinanderfallen. Die Verallgemeinerung des Zwischenwertsatzes auf zusammenhängende Räume ist enthalten.

Core questions

• Worin besteht der präzise Unterschied zwischen Zusammenhang und Wegzusammenhang, und wann fallen sie zusammen?
• Wie zerlegen Zusammenhangskomponenten einen beliebigen Raum, und warum sind sie abgeschlossen?
• Warum ist das stetige Bild eines zusammenhängenden Raumes zusammenhängend, und wie verallgemeinert dies den Zwischenwertsatz?
• Wie steuern lokaler Zusammenhang und lokaler Wegzusammenhang die Struktur von Komponenten?

Key concepts

• Zusammenhängende und unzusammenhängende Räume
• Wegzusammenhang und Wegkomponenten
• Zusammenhangskomponenten und Quasikomponenten
• Lokaler Zusammenhang und lokaler Wegzusammenhang
• Zwischenwertsatz als Aussage über Zusammenhang

Clinical relevance

Zusammenhang ist die Grundlage für das Zählen von Teilen eines Raumes und der Grad-Null-Schatten von Homotopie und Homologie; Wegzusammenhang ist die Voraussetzung für eine wohldefinierte Fundamentalgruppe, die die allgemeine Topologie mit der algebraischen Topologie verbindet.

History

Die intuitive Vorstellung eines Raumes, der aus einem Stück besteht, wurde im frühen 20. Jahrhundert zusammen mit der Axiomatisierung topologischer Räume präzisiert; die sorgfältige Trennung von Zusammenhang und Wegzusammenhang, illustriert durch Beispiele wie die Topologen-Sinuskurve, wurde zu einem Standardbestandteil des Punktmengen-Lehrplans.

Key figures

• Camille Jordan
• Felix Hausdorff
• James Munkres

Seminal works

• munkres2000
• kelley1955

Frequently asked questions

Impliziert zusammenhängend wegzusammenhängend?

Nein. Die Topologen-Sinuskurve ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend. Die Umkehrung gilt jedoch: Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend.

Wann sind zusammenhängende und wegzusammenhängende Komponenten identisch?

In einem lokal wegzusammenhängenden Raum fallen zusammenhängende Komponenten und Wegkomponenten zusammen und sind offen, weshalb sich Mannigfaltigkeiten und offene Teilmengen des euklidischen Raumes so einfach verhalten.