Zopfgruppen

Die Zopfgruppe kodiert die Arten, wie Stränge miteinander verflochten werden können, und liefert eine algebraische Struktur, deren Abschlüsse jeden Knoten und jede Verschlingung erzeugen und deren Darstellungen Knoteninvarianten ergeben.

Definition

Die Zopfgruppe auf n Strängen ist die Gruppe mit Erzeugern, die benachbarte Stränge vertauschen, unter den Zopfrelationen; sie ist gleichzeitig die Fundamentalgruppe des Konfigurationsraums von n Punkten in der Ebene und die Abbildungsklassengruppe der n-punktierten Scheibe.

Scope

Dieses Thema führt die Artin-Zopfgruppe über Erzeuger und Relationen ein, ihre Beschreibung als Fundamentalgruppe eines Konfigurationsraums und als Abbildungsklassengruppe der punktierten Scheibe, sowie die Wort- und Konjugationsprobleme, die durch Garside-Normalformen gelöst werden. Es entwickelt die Verbindung zwischen Zöpfen und Verschlingungen durch den Satz von Alexander (jede Verschlingung ist ein Zopfverschluss) und den Satz von Markov (welche Zöpfe zur gleichen Verschlingung schließen), und Darstellungen wie die Burau- und die Temperley-Lieb-Darstellung, die zum Jones-Polynom führen.

Core questions

• Welche Relationen definieren die Zopfgruppe, und warum erfassen sie das Verflechten von Strängen?
• Wie realisiert der Satz von Alexander jede Verschlingung als Abschluss eines Zopfes?
• Welche Zöpfe schließen zur gleichen Verschlingung, wie durch den Satz von Markov beantwortet?
• Wie erzeugen Darstellungen der Zopfgruppe Knoteninvarianten wie das Jones-Polynom?

Key concepts

• Artin-Erzeuger und die Zopfrelationen
• Zopfgruppe als Konfigurationsraum und Abbildungsklassengruppe
• Sätze von Alexander und Markov, die Zöpfe und Verschlingungen verbinden
• Garside-Normalform und das Wortproblem
• Burau- und Temperley-Lieb-Darstellungen

Clinical relevance

Zopfgruppen sind zentral für die Konstruktion von Quantenknoteninvarianten, für die Theorie der Abbildungsklassengruppen und der Flächentopologie sowie für das topologische Quantencomputing, wo das Verflechten von Anyonen Quantengatter realisiert.

History

Artin definierte und untersuchte die Zopfgruppe in seinen Arbeiten von 1925 und 1947 und etablierte die Erzeuger, Relationen und das Wortproblem; der Satz von Markov und die späteren darstellungstheoretischen Konstruktionen verbanden Zöpfe mit Knoteninvarianten und, durch Jones, mit Operatoralgebren.

Key figures

• Emil Artin
• Andrey Markov Jr.
• Vladimir Turaev

Seminal works

• kassel2008
• artin1947

Frequently asked questions

Wie hängen Zöpfe mit Knoten zusammen?

Das Schließen eines Zopfes durch Verbinden des oberen Endes jedes Stranges mit seinem unteren Ende erzeugt einen Knoten oder eine Verschlingung; der Satz von Alexander besagt, dass jede Verschlingung auf diese Weise entsteht, und der Satz von Markov beschreibt genau, wann zwei Zöpfe die gleiche Verschlingung ergeben.

Warum sind Zopfgruppen für das Quantencomputing relevant?

Im topologischen Quantencomputing werden Quanteninformationen in Anyonen gespeichert und durch deren Verflechten verarbeitet; die Zopfgruppe steuert diese Operationen, wodurch ihre Darstellungen ein Modell für fehlertolerante Quantengatter bilden.