طرق مونت كارلو
تقوم طرق مونت كارلو بتقدير التكاملات والتوقعات والاحتمالات عن طريق حساب المتوسط على سحوبات عشوائية محاكاة، مستبدلةً الحساب التحليلي غير القابل للمعالجة بقانون الأعداد الكبيرة المطبق على تيار من العينات.
Definition
طرق مونت كارلو هي تقنيات حاسوبية تقدر كمية حتمية، عادةً ما تكون تكاملاً أو توقعًا، كمتوسط لدالة تم تقييمها عند عينات مسحوبة من توزيع احتمالي مناسب.
Scope
تغطي هذه المنطقة تقدير مونت كارلو البسيط للتكاملات والتوقعات، وأخذ العينات الهامة كاستراتيجية لإعادة الترجيح، وسلسلة ماركوف مونت كارلو لأخذ العينات من التوزيعات المعقدة عالية الأبعاد، بما في ذلك عينة جيبس. وتتناول النظرية الإحصائية لهذه المقدرات (الاتساق، معدلات الخطأ، حجم العينة الفعال) بدلاً من نماذج المحاكاة الخاصة بالفيزياء.
Sub-topics
Core questions
- كيف يقدر حساب المتوسط على العينات العشوائية تكاملاً، وبأي معدل يتضاءل الخطأ؟
- كيف يمكن لأخذ العينات من توزيع واحد تقدير التوقعات تحت توزيع آخر؟
- كيف يمكن بناء سلسلة ماركوف بحيث يكون توزيعها الثابت هو الهدف المراد؟
- كيف يتم تحديد دقة تقدير مونت كارلو عندما تكون السحوبات معتمدة على بعضها البعض؟
Key theories
- تقدير مونت كارلو
- وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، يتقارب متوسط العينة لدالة تم تقييمها عند سحوبات مستقلة نحو توقعها، وتوفر نظرية النهاية المركزية معدل خطأ جذر-ن مستقل عن البعد.
- سلسلة ماركوف مونت كارلو
- يسمح بناء سلسلة ماركوف يكون توزيعها الثابت هو الهدف بأخذ عينات من التوزيعات المعروفة فقط حتى ثابت، مع تقدير متوسطات السلسلة الإرجودية للتوقعات.
- تغيير القياس عبر أخذ العينات الهامة
- يؤدي السحب من اقتراح قابل للمعالجة وإعادة الترجيح بنسبة كثافة الهدف إلى الاقتراح إلى تقديرات غير متحيزة للتوقعات تحت الهدف، مع كفاءة تحكمها تباين الوزن.
Clinical relevance
تُعد طرق مونت كارلو المحرك الحسابي للإحصاء الحديث: فهي تقيّم الاحتمالات البعدية البايزية، وتكامل المتغيرات الكامنة، وتنشر عدم اليقين عبر النماذج المعقدة، وتقدّر قيم p والمخاطر في الحالات التي لا توجد فيها إجابات بصيغة مغلقة، مع تطبيقات تمتد عبر الفيزياء وعلم الوراثة والتمويل وعلم الأوبئة.
History
نشأت طرق مونت كارلو في حسابات الفيزياء النووية في لوس ألاموس في الأربعينيات من القرن الماضي وسميت على اسم الكازينو؛ تبعتها خوارزمية متروبوليس في عام 1953، وقام هاستينغز بتعميمها في عام 1970، وأدت إعادة اكتشاف الإحصائيين لأخذ عينات جيبس في التسعينيات إلى تحويل سلسلة ماركوف مونت كارلو إلى الأداة المهيمنة في الإحصاء البايزي الحسابي.
Key figures
- Nicholas Metropolis
- Stanislaw Ulam
- Christian P. Robert
- Andrew Gelman
Related topics
Seminal works
- robert2004
- metropolis1949
Frequently asked questions
- لماذا لا ينمو خطأ مونت كارلو مع البعد؟
- ينكمش الخطأ المعياري لمتوسط مونت كارلو البسيط بمقدار واحد على الجذر التربيعي لعدد السحوبات بغض النظر عن بعد التكامل. هذا الاستقلال عن البعد هو السبب في أن مونت كارلو غالبًا ما يتفوق على التربيع القائم على الشبكة للمشكلات عالية الأبعاد.
- ما الفرق بين مونت كارلو البسيط وسلسلة ماركوف مونت كارلو؟
- يستخدم مونت كارلو البسيط سحوبات مستقلة من التوزيع المستهدف. بدلاً من ذلك، تحاكي سلسلة ماركوف مونت كارلو تسلسلاً معتمداً يكون توزيعه طويل الأمد هو الهدف، مما يسمح بأخذ عينات من التوزيعات التي لا يمكن السحب منها مباشرة.