التنوعات التفاضلية
التنوع التفاضلي هو فضاء يبدو محليًا كالفضاء الإقليدي ويرتبط ببعضه البعض عن طريق تغييرات إحداثية سلسة، مما يجعله الإطار الذي يمكن فيه إجراء حساب التفاضل والتكامل على الفضاءات المنحنية.
Definition
التنوع التفاضلي (الأملس) ذو البعد n هو فضاء طوبولوجي هاوسدورف قابل للعد الثاني ومجهز بأطلس من المخططات إلى مجموعات فرعية مفتوحة من الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n، حيث تكون خرائط الانتقال قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية.
Scope
يحدد هذا الموضوع التنوعات عبر أطالس من المخططات ذات خرائط انتقال سلسة، ويطور البنى السلسة، ويتناول الإنشاءات الأساسية: التنوعات الفرعية، نظريات الرتبة والقيمة المنتظمة التي تعطي مجموعات المستوى كتنوعات، تجزئات الوحدة، والتضمينات في الفضاء الإقليدي (نظرية تضمين ويتني). ويقدم التمييز بين البنى الطوبولوجية والسلسة، والوجود المفاجئ للبنى السلسة الغريبة، ومجموعات لاي (Lie groups) كتنوعات ذات عمليات جماعية متوافقة.
Core questions
- كيف تسمح المخططات وخرائط الانتقال السلسة بنقل حساب التفاضل والتكامل إلى فضاء منحني بشكل لا لبس فيه؟
- متى تحمل مجموعة مستوى لخريطة سلسة بنية تنوع طبيعية؟
- لماذا يمكن تضمين كل تنوع أملس في بعض الفضاءات الإقليدية؟
- كيف يمكن لتنوع طوبولوجي واحد أن يقبل بنى سلسة غير متكافئة؟
Key concepts
- المخططات، الأطالس، وخرائط الانتقال السلسة
- البنى السلسة والتنوعات الفرعية
- نظرية القيمة المنتظمة ومجموعات المستوى كتنوعات
- تجزئات الوحدة ونظرية تضمين ويتني
- البنية الطوبولوجية مقابل البنية السلسة والتنوعات الغريبة
Clinical relevance
التنوعات هي المسرح العالمي للهندسة والفيزياء الحديثة: فضاءات التكوين والطور في الميكانيكا، والزمكان في النسبية العامة، ومجموعات لاي في التناظر، كلها تنوعات، وقد أعادت دقة البنية السلسة التي كشف عنها ميلنور تشكيل الطوبولوجيا في القرن العشرين.
History
أصبحت فكرة ريمان عام 1854 عن التنوع دقيقة من خلال تعريف أوائل القرن العشرين بواسطة الأطالس؛ وقد أسست نظريات تضمين ويتني في ثلاثينيات القرن الماضي النظرية المجردة، وكشف اكتشاف ميلنور عام 1956 للكرات السلسة الغريبة ذات الأبعاد السبعة أن البنية السلسة تحمل معلومات تتجاوز الطوبولوجيا.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Hassler Whitney
- John Milnor
Related topics
Seminal works
- lee2012
- milnor1956
Frequently asked questions
- ما الذي يجعل التنوع تفاضليًا بدلاً من كونه طوبولوجيًا فقط؟
- يتطلب التنوع الطوبولوجي فقط مخططات إلى الفضاء الإقليدي؛ بينما يتطلب التنوع التفاضلي بالإضافة إلى ذلك أن تكون خرائط الانتقال بين المخططات المتداخلة سلسة، بحيث يكون مفهوم الدالة السلسة على التنوع معرفًا جيدًا.
- ما هي الكرة الغريبة؟
- هي تنوع متماثل الشكل (homeomorphic) ولكن ليس متماثل التفاضل (diffeomorphic) للكرة القياسية؛ وقد أظهر اكتشاف ميلنور لمثل هذه البنى على الكرة ذات الأبعاد السبعة أن البنى السلسة لا تتحدد بالبنية الطوبولوجية الأساسية.