平稳分布与收敛性

平稳分布是马尔可夫链在其动力学下保持不变的概率律；在广泛的条件下，马尔可夫链会“忘记”其起点并收敛到这个平衡状态。

Definition

平稳分布是一个概率向量，它在转移矩阵的作用下保持不变，因此从该分布开始的链在任何后续时间都保持按该分布分布；收敛理论研究任意初始分布何时以及多快地接近这个平衡状态。

Scope

本主题涵盖不变分布和平稳分布，以及它们作为转移矩阵左特征向量的特征化、存在性和唯一性判据、细致平衡和可逆性、不可约非周期链的收敛定理、总变差距离和混合时间，以及用于限制收敛速度的耦合和谱方法。

Core questions

• 什么是平稳分布，以及如何从转移矩阵计算它？
• 在什么条件下，平稳分布是唯一的并且是链的极限？
• 可逆性增加了什么，以及它如何与细致平衡联系起来？
• 如何量化和限制收敛到平衡的速度？

Key theories

收敛到平衡定理

对于不可约、非周期、正常返的链，经过 n 步后的分布从任何起点收敛到唯一的平稳分布，因此链渐近地失去对其起源的记忆。

可逆性和细致平衡

一个相对于某个分布满足细致平衡方程的链是可逆的，并且以该分布作为平稳分布；可逆性产生自伴随转移算子，并构成了混合谱界的基础。

Clinical relevance

平稳分布描述了系统在每个状态中花费的长期时间比例，给出了稳态队列长度、遗传学中的平衡频率以及马尔可夫链蒙特卡洛采样的目标律；混合时间界限决定了此类模拟必须运行多长时间才能产生可靠的样本。

History

Doeblin 和 Kolmogorov 在 20 世纪 30 年代利用耦合和分析论证建立了收敛理论。混合时间的定量研究由 Diaconis 及其合作者自 20 世纪 80 年代起加以完善，将收敛速度与谱隙以及总变差距离中的截止现象等联系起来。

Key figures

• Wolfgang Doeblin
• Andrey Kolmogorov
• Persi Diaconis

Seminal works

• levinPeres2017

Frequently asked questions

如何找到链的平稳分布？

求解与转移矩阵相乘后保持不变的概率向量；对于可逆链，细致平衡方程通常能更直接地给出它。

什么是混合时间？

它是链的分布与其平稳分布之间的总变差距离在很小范围内的步数，衡量链达到平衡的速度。