二次互反律

高斯称之为“黄金定理”的二次互反律，将素数p模q是否为平方数与q模p是否为平方数联系起来，为可解性提供了一个强大且出乎意料的对称判据。

Definition

如果一个整数模素数p同余于一个完全平方数，则称该整数为模p的二次剩余。二次互反律是一个定理，它将两个不同的奇素数p和q的x平方同余q模p的可解性与x平方同余p模q的可解性联系起来。

Scope

本主题涵盖模素数的二次剩余和非剩余、欧拉判别法、勒让德符号及其乘法性、雅可比符号、两个补充定律（针对负一和二），以及主要的互反律本身，包括其作为类域论互反律的第一个实例的作用。

Core questions

• 给定一个奇素数p，哪些剩余是平方数，欧拉判别法如何判断？
• 勒让德符号和雅可比符号如何编码剩余信息并具有乘法性？
• 互反律究竟断言了什么，补充定律如何处理负一和二？
• 为什么二次互反律被认为是类域论中更高次互反律的原型？

Key theories

欧拉判别法和勒让德符号

当且仅当整数a的(p减一)/2次方模奇素数p同余于1时，a是模p的二次剩余；勒让德符号记录此符号，并在其上参数中具有完全乘法性。

二次互反律

对于不同的奇素数p和q，两个勒让德符号的乘积等于负一的((p减一)/2)((q减一)/2)次方，因此只有当两个素数都同余于模四的三时，互反律才不成立。

补充定律和雅可比符号

单独的规则确定负一和二何时是剩余，雅可比符号将勒让德符号扩展到合数模，从而无需因式分解即可进行高效计算。

Clinical relevance

互反律和雅可比符号为判断二次剩余提供了快速算法，这些算法用于素性测试（Solovay-Strassen）、计算模素数的平方根，以及其安全性依赖于二次剩余假设的密码方案。

History

该定律由欧拉和勒让德提出猜想，高斯于1796年首次完整证明，他反复研究并给出了八种不同的证明；目前已知有两百多种证明。它推广到更高次幂的动机促使了艾森斯坦、库默尔的研究，并最终形成了类域论的互反律。

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

为什么高斯八次证明了同一个定理？

每个证明都阐明了不同的结构（高斯和、格点计数、分圆），高斯寻求一种可以推广到更高次互反律的证明，这正是后来代数数论发展的原因。

勒让德符号和雅可比符号有什么区别？

勒让德符号定义用于奇素数模，并精确检测二次剩余；雅可比符号将其推广到奇合数模以进行计算，但值为一不再保证该数是剩余。