Phân bố số nguyên tố và Định lý số nguyên tố

Định lý số nguyên tố làm rõ trực giác rằng các số nguyên tố thưa dần theo hàm logarit: số lượng số nguyên tố lên đến một giới hạn là tiệm cận với giới hạn đó chia cho logarit tự nhiên của nó.

Definition

Định lý số nguyên tố phát biểu rằng số lượng số nguyên tố không vượt quá x, ký hiệu là pi của x, tiệm cận bằng x chia cho logarit tự nhiên của x, tương đương với tích phân logarit của x.

Scope

Chủ đề này bao gồm hàm đếm số nguyên tố và các tiệm cận của nó, các cận cơ bản của Chebyshev và các hàm tổng psi và theta, các định lý của Mertens, phát biểu và chứng minh giải tích của định lý số nguyên tố thông qua việc hàm zeta không triệt tiêu trên đường có phần thực bằng một, xấp xỉ tích phân logarit, các số hạng sai số và mối liên hệ của chúng với Giả thuyết Riemann, và các khoảng cách số nguyên tố cùng các phỏng đoán về cặp số nguyên tố sinh đôi.

Core questions

• Các cận của Chebyshev và các ước lượng của Mertens giới hạn mật độ số nguyên tố như thế nào trước khi có định lý đầy đủ?
• Tại sao định lý số nguyên tố tương đương với việc hàm zeta không có nghiệm trên đường mà phần thực bằng một?
• Xấp xỉ tích phân logarit tốt đến mức nào, và số hạng sai số phụ thuộc vào Giả thuyết Riemann như thế nào?
• Những gì đã biết và được phỏng đoán về khoảng cách giữa các số nguyên tố liên tiếp, bao gồm cả các cặp số nguyên tố sinh đôi?

Key theories

Định lý số nguyên tố

Được chứng minh độc lập bởi Hadamard và de la Vallee Poussin vào năm 1896, nó đưa ra tiệm cận hàng đầu cho việc đếm số nguyên tố; phát biểu tương đương cho hàm psi của Chebyshev là dạng tự nhiên về mặt giải tích.

Các vùng không có nghiệm và các số hạng sai số

Kích thước của một vùng không có nghiệm cho hàm zeta ở bên trái đường có phần thực bằng một kiểm soát sai số trong định lý số nguyên tố; Giả thuyết Riemann sẽ đưa ra sai số kiểu căn bậc hai tối ưu.

Khoảng cách số nguyên tố và phỏng đoán Cramer

Khoảng cách trung bình gần x xấp xỉ logarit của x; các phỏng đoán xác suất dự đoán sự phân bố của các khoảng cách lớn và nhỏ, và các tiến bộ sàng đã chứng minh sự tồn tại của vô số khoảng cách bị chặn.

Clinical relevance

Mật độ số nguyên tố được đưa ra bởi định lý cho các nhà mật mã học biết cần phải kiểm tra bao nhiêu ứng cử viên ngẫu nhiên để tìm một số nguyên tố có kích thước nhất định, điều này trực tiếp chi phối hiệu quả của việc tạo khóa RSA và Diffie-Hellman.

History

Gauss và Legendre đã phỏng đoán số lượng tiệm cận của các số nguyên tố vào khoảng năm 1800. Chebyshev đã thiết lập các cận trên và cận dưới chặt chẽ vào những năm 1850, Riemann đã phác thảo chiến lược giải tích vào năm 1859, và Hadamard cùng de la Vallee Poussin đã hoàn thành chứng minh vào năm 1896. Selberg và Erdos sau đó đã đưa ra một chứng minh sơ cấp vào năm 1949.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Pafnuty Chebyshev
• Jacques Hadamard
• Charles-Jean de la Vallee Poussin

Seminal works

• davenport2000

Frequently asked questions

Định lý số nguyên tố có cho phép bạn dự đoán số nguyên tố tiếp theo không?

Không. Nó mô tả mật độ trung bình của các số nguyên tố trên các khoảng dài; nó không xác định vị trí của bất kỳ số nguyên tố riêng lẻ nào, và các số nguyên tố vẫn không đều ở các quy mô nhỏ.

Định lý liên quan đến Giả thuyết Riemann như thế nào?

Bản thân định lý là vô điều kiện, nhưng Giả thuyết Riemann sẽ xác định sai số nhỏ nhất có thể trong phép xấp xỉ, kiểm soát mức độ mà số lượng số nguyên tố thực tế có thể lệch khỏi tích phân logarit.