Hình vuông Latin và Hình học hữu hạn

Hình vuông Latin là một mảng vuông trong đó mỗi ký hiệu xuất hiện một lần trên mỗi hàng và cột, và hình học hữu hạn là các hệ thống sự cố có cấu trúc cao trên một số hữu hạn các điểm và đường thẳng.

Definition

Một hình vuông Latin bậc n là một mảng n-nhân-n được điền n ký hiệu sao cho mỗi ký hiệu xuất hiện chính xác một lần trong mỗi hàng và mỗi cột; một mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn là một cấu trúc sự cố của các điểm và đường thẳng trong đó bất kỳ hai điểm nào cũng nằm trên một đường thẳng duy nhất và bất kỳ hai đường thẳng nào cũng giao nhau tại một điểm duy nhất.

Scope

Chủ đề này đề cập đến các hình vuông Latin và các hình vuông Latin trực giao lẫn nhau, sự tương đương của chúng với các lưới và thiết kế ngang, và các mặt phẳng xạ ảnh và afin hữu hạn được xây dựng từ các trường hữu hạn. Nó bao gồm giả thuyết cổ điển của Euler về các hình vuông trực giao và mối liên hệ sâu sắc giữa các hình vuông Latin trực giao lẫn nhau và các mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn.

Core questions

• Có thể tồn tại bao nhiêu hình vuông Latin trực giao lẫn nhau của một bậc nhất định?
• Đối với những bậc nào thì tồn tại các tập hợp hoàn chỉnh các hình vuông trực giao, và do đó là các mặt phẳng xạ ảnh?
• Các trường hữu hạn xây dựng các mặt phẳng và các hình vuông trực giao như thế nào?
• Những tiên đề sự cố nào định nghĩa các hình học afin và xạ ảnh trên các tập hợp hữu hạn?

Key concepts

• Hình vuông Latin
• Các hình vuông Latin trực giao lẫn nhau
• Các thiết kế ngang và lưới
• Mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn
• Mặt phẳng afin
• Các trường Galois (hữu hạn)

Key theories

MOLS và các mặt phẳng xạ ảnh

Một tập hợp hoàn chỉnh gồm n-1 hình vuông Latin trực giao lẫn nhau bậc n tồn tại khi và chỉ khi một mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn bậc n tồn tại, liên kết tổ hợp hình vuông Latin với hình học hữu hạn.

Bác bỏ giả thuyết của Euler

Euler đã giả thuyết rằng không tồn tại cặp hình vuông Latin trực giao nào cho các bậc đồng dư với 2 modulo 4; Bose, Shrikhande và Parker đã bác bỏ điều này vào năm 1960 cho tất cả các bậc như vậy ngoại trừ 2 và 6.

Clinical relevance

Các hình vuông Latin cung cấp các thiết kế thử nghiệm hàng-cột kiểm soát đồng thời hai nguồn biến thiên, các mảng trực giao hỗ trợ các thí nghiệm giai thừa và kiểm thử phần mềm, và các hình học hữu hạn tạo ra các mã và thiết kế.

History

Euler đã nghiên cứu các hình vuông Latin trực giao vào năm 1782 thông qua bài toán ba mươi sáu sĩ quan của ông; giả thuyết của ông đã tồn tại cho đến khi bị Bose, Shrikhande và Parker bác bỏ vào năm 1960, những người được gọi là những kẻ phá hoại Euler.

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

Hai hình vuông Latin trực giao có nghĩa là gì?

Khi hai hình vuông được chồng lên nhau, mỗi cặp ký hiệu có thứ tự xuất hiện chính xác một lần, do đó các hình vuông cùng nhau phân biệt mọi ô của lưới.

Một lưới Sudoku có phải là một hình vuông Latin không?

Một Sudoku đã hoàn thành là một hình vuông Latin bậc chín với ràng buộc bổ sung là mỗi ô ba-nhân-ba cũng chứa mỗi ký hiệu một lần.