Nhóm Galois

Nhóm Galois của một mở rộng trường là nhóm các tự đẳng cấu trường cố định trường cơ sở, mã hóa các đối xứng của các nghiệm của một đa thức và lập chỉ mục các trường trung gian.

Definition

Đối với một mở rộng trường, nhóm Galois là nhóm các tự đẳng cấu của trường lớn hơn mà cố định mọi phần tử của trường cơ sở; mở rộng được gọi là Galois khi nhóm này có kích thước bằng bậc của mở rộng, điều này xảy ra chính xác đối với các mở rộng chuẩn tắc và khả phân hữu hạn.

Scope

Chủ đề này bao gồm các tự đẳng cấu của mở rộng trường, định nghĩa nhóm Galois, các mở rộng chuẩn tắc và khả phân, định lý cơ bản của lý thuyết Galois, và việc tính toán các nhóm Galois của các đa thức cũng như cách diễn giải chúng như các nhóm hoán vị của các nghiệm.

Core questions

• Một mở rộng trường sở hữu những đối xứng nào?
• Khi nào một mở rộng là Galois, và nhóm tự đẳng cấu của nó lớn đến mức nào?
• Nhóm Galois tương ứng với các trường trung gian như thế nào?
• Nhóm Galois của một đa thức được hiện thực hóa như một nhóm hoán vị của các nghiệm của nó như thế nào?

Key theories

Định lý cơ bản của lý thuyết Galois

Đối với một mở rộng Galois hữu hạn, tồn tại một song ánh đảo ngược bao hàm giữa các trường trung gian và các nhóm con của nhóm Galois, theo đó bậc của một mở rộng con bằng chỉ số của nhóm con tương ứng.

Nhóm Galois như các hoán vị của nghiệm

Nhóm Galois của một đa thức khả phân tác động trung thực lên các nghiệm của nó, nhúng nó như một nhóm con của nhóm đối xứng trên các nghiệm đó, điều này hạn chế và giúp tính toán nhóm.

Định lý Artin về các trường cố định

Nếu một nhóm tự đẳng cấu hữu hạn tác động lên một trường, toàn bộ trường là một mở rộng Galois của trường con cố định với nhóm đó là nhóm Galois của nó, đưa ra một định lý đảo cho việc xây dựng các nhóm Galois.

Clinical relevance

Nhóm Galois chuyển đổi các vấn đề về mở rộng trường và phương trình đa thức thành lý thuyết nhóm; khả năng giải được của nó quyết định khả năng giải được bằng căn thức, và bài toán Galois ngược cùng các biểu diễn Galois làm cho nó trở thành trung tâm của lý thuyết số hiện đại và hình học số học.

History

Galois đã gán cho mỗi phương trình một nhóm các hoán vị của các nghiệm của nó vào những năm 1830, đó là nhóm Galois nguyên thủy. Dedekind và Artin đã định hình lại điều này theo các tự đẳng cấu của trường, và công thức của Artin theo các trường cố định đã mang lại cho lý thuyết hình dạng hiện đại, mang tính khái niệm của nó.

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Khi nào một mở rộng trường là Galois?

Một mở rộng hữu hạn là Galois khi nó vừa chuẩn tắc (nó chứa tất cả các liên hợp của mỗi phần tử của nó) vừa khả phân (các đa thức tối tiểu có các nghiệm phân biệt). Tương đương, nhóm tự đẳng cấu cố định cơ sở có bậc bằng bậc của mở rộng.

Tại sao lại xem nhóm Galois như hoán vị các nghiệm?

Một tự đẳng cấu cố định trường cơ sở phải gửi các nghiệm của một đa thức đến các nghiệm khác, do đó nhóm tác động lên tập hữu hạn các nghiệm. Điều này hiện thực hóa nhóm Galois bên trong một nhóm đối xứng, làm cho nó có thể tính toán được và kết nối nó với lý thuyết nhóm hoán vị.