Các phạm trù, hàm tử và phép biến đổi tự nhiên

Các phạm trù (categories), hàm tử (functors) và phép biến đổi tự nhiên (natural transformations) là ba khái niệm cơ bản của lý thuyết phạm trù, nhằm hình thức hóa các cấu trúc, các ánh xạ giữa các cấu trúc và các ánh xạ giữa các ánh xạ đó.

Definition

Một phạm trù bao gồm các đối tượng và các cấu xạ hợp thành một cách kết hợp với các đồng nhất thức; một hàm tử ánh xạ các đối tượng và cấu xạ của một phạm trù sang một phạm trù khác, bảo toàn phép hợp thành và các đồng nhất thức; một phép biến đổi tự nhiên gán cho mỗi đối tượng một cấu xạ sao cho nó giao hoán với các tác động của hai hàm tử.

Scope

Chủ đề này bao gồm định nghĩa một phạm trù thông qua các đối tượng, cấu xạ, phép hợp thành và các đồng nhất thức; khái niệm hàm tử như một ánh xạ bảo toàn cấu trúc giữa các phạm trù; các phép biến đổi tự nhiên như các cấu xạ của hàm tử; và các khái niệm phát sinh như đẳng cấu, tương đương phạm trù và phép nhúng Yoneda.

Core questions

• Dữ liệu và tiên đề nào định nghĩa một phạm trù?
• Một hàm tử chuyển đổi cấu trúc từ phạm trù này sang phạm trù khác như thế nào?
• Tính tự nhiên có nghĩa là gì và tại sao nó là khái niệm đúng đắn về ánh xạ giữa các hàm tử?
• Khi nào thì hai phạm trù tương đương chứ không phải bằng nhau?

Key theories

Các tiên đề về phạm trù và hàm tử

Phép hợp thành của các cấu xạ có tính kết hợp và có đơn vị, và các hàm tử bảo toàn cấu trúc hợp thành này, do đó các cấu trúc phạm trù ổn định dưới các ánh xạ liên hệ các phạm trù.

Các phép biến đổi tự nhiên

Một phép biến đổi tự nhiên liên hệ hai hàm tử bằng một họ các cấu xạ tương thích với tất cả các ánh xạ trong phạm trù nguồn, nắm bắt ý tưởng không chính thức về một cấu trúc được định nghĩa một cách đồng nhất và không có lựa chọn tùy ý.

Bổ đề và phép nhúng Yoneda

Các phép biến đổi tự nhiên từ một hàm tử biểu diễn tương ứng với các phần tử, do đó mọi đối tượng được xác định bởi các cấu xạ của nó và nhúng một cách đầy đủ và trung thực vào một phạm trù hàm tử.

Clinical relevance

Ba khái niệm này là vốn từ vựng mà toán học phạm trù được xây dựng: các hàm tử hình thức hóa các cấu trúc như việc hình thành một nhóm cơ bản hoặc một vành đa thức, tính tự nhiên xác định các cấu trúc chính tắc, và quan điểm Yoneda làm nền tảng cho cách nhìn cấu trúc xuyên suốt đại số, tô pô và ngữ nghĩa của các ngôn ngữ lập trình.

History

Eilenberg và Mac Lane đã giới thiệu các phạm trù, hàm tử và phép biến đổi tự nhiên vào năm 1945, với các phép biến đổi tự nhiên là khái niệm động lực đòi hỏi các khái niệm khác phải được định nghĩa một cách chính xác. Bổ đề Yoneda, được gán cho Nobuo Yoneda, nhanh chóng trở thành nền tảng thể hiện quan điểm biểu diễn của chủ đề.

Key figures

• Samuel Eilenberg
• Saunders Mac Lane
• Nobuo Yoneda

Seminal works

• maclane1998
• awodey2010
• riehl2016

Frequently asked questions

Mục đích của các phép biến đổi tự nhiên là gì?

Chúng làm rõ khi nào một cấu trúc là chính tắc, được định nghĩa theo cùng một cách cho mọi đối tượng mà không có các lựa chọn tùy ý. Ví dụ kinh điển là ánh xạ tự nhiên từ một không gian vectơ đến không gian đối ngẫu kép của nó, tồn tại một cách đồng nhất, không giống như ánh xạ đến không gian đối ngẫu đơn, phụ thuộc vào việc chọn một cơ sở.

Tương đương phạm trù là gì?

Đó là một cặp hàm tử giữa hai phạm trù mà các hợp thành của chúng đẳng cấu tự nhiên với các đồng nhất thức. Các phạm trù tương đương chia sẻ tất cả các tính chất phạm trù ngay cả khi chúng không hoàn toàn giống hệt nhau, đây là khái niệm phù hợp về sự giống nhau trong lý thuyết phạm trù.