Số học Thứ tự và Số học Bản số

Số học thứ tự và số học bản số mở rộng các khái niệm đếm và sắp xếp vào vô hạn, cung cấp hai phép đo bổ sung về kích thước và vị trí siêu hạn.

Definition

Một số thứ tự (ordinal) là một tập hợp bắc cầu được sắp tốt theo quan hệ thành viên, đại diện cho một kiểu thứ tự; một số bản số (cardinal) là một số thứ tự không có song ánh với bất kỳ số thứ tự nhỏ hơn nào, đại diện cho một kích thước. Số học của chúng định nghĩa các phép toán cộng, nhân và lũy thừa mở rộng các phép toán hữu hạn vào siêu hạn.

Scope

Chủ đề này bao gồm các số thứ tự như các tập hợp được sắp tốt chính tắc và số học không giao hoán của chúng, các số bản số như các phép đo kích thước và số học của chúng theo tiên đề chọn, các hệ thống phân cấp aleph và beth, tính đồng chung (cofinality), và các kết quả như định lý Cantor và định lý Koenig.

Core questions

• Các số thứ tự mã hóa mọi sắp xếp tốt như thế nào cho đến đẳng cấu?
• Tại sao số học thứ tự không giao hoán trong khi số học bản số lại giao hoán?
• Các số bản số vô hạn được cộng, nhân và lũy thừa như thế nào?
• Những ràng buộc nào mà tính đồng chung và định lý Koenig đặt ra đối với lũy thừa bản số?

Key theories

Định lý Cantor

Đối với mọi tập hợp, tập hợp lũy thừa có bản số lớn hơn nghiêm ngặt, do đó không có bản số lớn nhất và hệ thống phân cấp các kích thước vô hạn không bao giờ kết thúc.

Quy nạp và đệ quy siêu hạn

Các tính chất có thể được chứng minh và các hàm có thể được định nghĩa trên tất cả các số thứ tự bằng quy nạp và đệ quy theo thứ tự số thứ tự, đây là động cơ kỹ thuật trung tâm của lý thuyết tập hợp.

Hệ thống phân cấp Aleph và lũy thừa bản số

Theo tiên đề chọn, các bản số vô hạn được sắp tốt như các aleph; tổng và tích của các bản số vô hạn thu gọn về giá trị lớn nhất, trong khi lũy thừa được điều chỉnh bởi tính đồng chung và định lý Koenig và phần lớn vẫn độc lập với ZFC.

Clinical relevance

Số học siêu hạn là nền tảng cho việc so sánh các tập hợp vô hạn trong toán học, biện minh cho các lập luận bằng quy nạp siêu hạn trong đại số và giải tích, và định hình các câu hỏi độc lập trung tâm như giá trị của continuum.

History

Cantor đã giới thiệu cả số thứ tự và số bản số vào những năm 1880 và 1890, chứng minh rằng các số thực là không đếm được và rằng các tập hợp lũy thừa làm tăng nghiêm ngặt bản số. Định nghĩa của Von Neumann về số thứ tự như các tập hợp bắc cầu được sắp tốt theo quan hệ thành viên đã đưa ra công thức hiện đại, và Hausdorff cùng Koenig đã thiết lập các kết quả quan trọng về lũy thừa bản số và tính đồng chung.

Key figures

• Georg Cantor
• John von Neumann
• Felix Hausdorff
• Julius Koenig

Seminal works

• jech2003
• enderton1977
• kunen2011

Frequently asked questions

Sự khác biệt giữa số thứ tự và số bản số là gì?

Số thứ tự ghi lại kiểu thứ tự của một sắp xếp tốt, phân biệt các cách sắp xếp có cùng kích thước nhưng cấu trúc khác nhau, trong khi số bản số chỉ ghi lại kích thước. Mọi số bản số đều là một số thứ tự, cụ thể là số thứ tự nhỏ nhất có kích thước đó.

Tại sao một cộng omega khác với omega cộng một?

Phép cộng số thứ tự được định nghĩa bằng cách nối các kiểu thứ tự và nhạy cảm với vị trí. Đặt một phần tử trước các số tự nhiên cho cùng kiểu thứ tự với các số tự nhiên, trong khi đặt một phần tử sau chúng sẽ thêm một phần tử lớn nhất mới, do đó hai tổng là các số thứ tự khác nhau.