Điểm hấp dẫn (Attractors)

Điểm hấp dẫn là một tập hợp mà các quỹ đạo của một hệ động lực hội tụ về đó, nắm bắt hành vi dài hạn của hệ thống sau khi các trạng thái quá độ suy giảm.

Definition

Điểm hấp dẫn là một tập hợp bất biến đóng thu hút một vùng lân cận mở của các điều kiện ban đầu, sao cho các quỹ đạo gần đó tiếp cận nó khi thời gian tăng lên; nó có thể là một điểm, một đường cong đóng, hoặc một điểm hấp dẫn lạ có cấu trúc hình học phức tạp.

Scope

Chủ đề này bao gồm các điểm hấp dẫn dạng điểm cố định, chu trình giới hạn và hình xuyến, các lưu vực hấp dẫn, định lý Poincare-Bendixson trong mặt phẳng, các điểm hấp dẫn lạ với cấu trúc fractal, và đặc trưng của các điểm hấp dẫn bằng số mũ Lyapunov và chiều fractal.

Core questions

• Các trạng thái dài hạn nào mà một hệ tiêu tán sẽ ổn định?
• Những điều kiện ban đầu nào bị hút về một điểm hấp dẫn nhất định?
• Những loại điểm hấp dẫn nào có thể có trong mặt phẳng và trong các chiều cao hơn?
• Hình học fractal của một điểm hấp dẫn lạ được đo lường như thế nào?

Key theories

Định lý Poincare-Bendixson

Một quỹ đạo bị chặn của một hệ thống phẳng mà tránh các điểm cân bằng phải tiếp cận một quỹ đạo tuần hoàn, do đó các điểm hấp dẫn duy nhất trong hai chiều là các điểm cố định và chu trình giới hạn, và hỗn loạn yêu cầu ít nhất ba chiều.

Các điểm hấp dẫn lạ

Các hệ hỗn loạn tiêu tán sở hữu các điểm hấp dẫn có hình học fractal mà trên đó động lực học nhạy cảm với các điều kiện ban đầu, điển hình là các điểm hấp dẫn Lorenz và Henon.

Các lưu vực hấp dẫn

Mỗi điểm hấp dẫn thu hút tập hợp các điều kiện ban đầu tạo thành lưu vực của nó, và ranh giới giữa các lưu vực cạnh tranh có thể là trơn hoặc fractal.

Clinical relevance

Các điểm hấp dẫn phân loại các hành vi ổn định có thể có của các hệ vật lý và sinh học, phân biệt giữa trạng thái cân bằng, dao động bền vững và hỗn loạn, và hình học của các lưu vực là cơ sở cho tính đa ổn định và sự chuyển đổi giữa các trạng thái thay thế trong sinh thái học, khí hậu và kỹ thuật.

History

Định lý Poincare-Bendixson đã xác định các dạng điểm hấp dẫn giới hạn trong mặt phẳng vào khoảng năm 1900. Thuật ngữ điểm hấp dẫn lạ được Ruelle và Takens giới thiệu vào năm 1971 trong lý thuyết về nhiễu loạn của họ, và điểm hấp dẫn Lorenz trở thành ví dụ điển hình của sự hấp dẫn hỗn loạn fractal.

Key figures

• Henri Poincare
• Ivar Bendixson
• Edward Lorenz
• David Ruelle

Seminal works

• guckenheimer1983
• wiggins1990

Frequently asked questions

Tại sao một điểm hấp dẫn lạ lại được gọi là lạ?

Bởi vì nó có hình học fractal, không có chiều nguyên và hỗ trợ động lực học hỗn loạn, không giống như các điểm và vòng lặp đơn giản thu hút các hệ thống thông thường. Tên gọi này cho thấy cả cấu trúc phức tạp của nó và sự phụ thuộc nhạy cảm vào các điều kiện ban đầu của chuyển động trên đó.

Tại sao hỗn loạn không thể xảy ra trong hai chiều?

Định lý Poincare-Bendixson chỉ ra rằng các quỹ đạo phẳng bị chặn phải tiếp cận một điểm cố định hoặc một chu trình đóng, không để lại chỗ cho sự lang thang không tuần hoàn của hỗn loạn. Do đó, các điểm hấp dẫn hỗn loạn yêu cầu ít nhất ba chiều của không gian pha.