Karesel Karşılıklılık
Gauss'un altın teorem olarak adlandırdığı karesel karşılıklılık yasası, bir p asal sayısının q modülüne göre bir kare olup olmadığını, q'nun p modülüne göre bir kare olup olmadığıyla ilişkilendirerek, çözülebilirlik için güçlü ve beklenmedik derecede simetrik bir kriter sunmaktadır.
Tanım
Bir tam sayı, bir p asal sayısına göre karesel bir kalıntı (quadratic residue) ise, p modülüne göre tam bir kareye denktir. Karesel karşılıklılık, farklı tek asal sayılar p ve q için, x kare mod p'nin q'ya denk olması ile x kare mod q'nun p'ye denk olmasının çözülebilirliğini ilişkilendiren teoremdir.
Kapsam
Bu konu, bir asal sayıya göre karesel kalıntıları ve kalıntı olmayanları, Euler kriterini, Legendre sembolünü ve çarpımsallığını, Jacobi sembolünü, iki ek yasayı (eksi bir ve iki için) ve ana karşılıklılık yasasının kendisini, ayrıca sınıf cisim teorisinin karşılıklılık yasalarının ilk örneği olarak rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- Tek bir p asal sayısı verildiğinde, hangi kalıntılar karedir ve Euler kriteri bunu nasıl belirler?
- Legendre ve Jacobi sembolleri kalıntı bilgisini nasıl kodlar ve çarpımsal olarak nasıl davranır?
- Karşılıklılık yasası tam olarak neyi ileri sürer ve ek yasalar eksi bir ve ikiyi nasıl ele alır?
- Karesel karşılıklılık neden sınıf cisim teorisinin daha yüksek karşılıklılık yasalarının prototipi olarak kabul edilir?
Temel kuramlar
- Euler kriteri ve Legendre sembolü
- Bir a tam sayısı, tek bir p asal sayısına göre ancak a üssü (p eksi bir)/2 bire denk olduğunda karesel bir kalıntıdır; Legendre sembolü bu işareti kaydeder ve üst argümanında tamamen çarpımsaldır.
- Karesel karşılıklılık yasası
- Farklı tek asal sayılar p ve q için, iki Legendre sembolünün çarpımı, ((p eksi bir)/2)((q eksi bir)/2) kuvvetine yükseltilmiş eksi bire eşittir, bu nedenle karşılıklılık yalnızca her iki asal sayı da dört modülüne göre üçe denk olduğunda başarısız olur.
- Ek yasalar ve Jacobi sembolü
- Eksi bir ve ikinin ne zaman kalıntı olduğunu belirleyen ayrı kurallar vardır ve Jacobi sembolü, Legendre sembolünü bileşik modüllere genişleterek çarpanlara ayırma olmaksızın verimli hesaplama sağlar.
Klinik önem
Karşılıklılık ve Jacobi sembolü, karesel kalıntı olup olmadığına karar vermek için hızlı algoritmalar sunar; bunlar asal sayı testlerinde (Solovay-Strassen), asal sayılara göre karekök hesaplamalarında ve güvenliği karesel kalıntı varsayımına dayanan kriptografik şemalarda kullanılmaktadır.
Tarihçe
Euler ve Legendre tarafından öne sürülen yasa, ilk olarak 1796'da Gauss tarafından tam olarak kanıtlanmıştır; Gauss bu konuya tekrar tekrar dönmüş ve sekiz farklı kanıt sunmuştur; günümüzde iki yüzden fazla kanıt bilinmektedir. Daha yüksek kuvvetlere genelleştirilmesi Eisenstein, Kummer ve nihayetinde sınıf cisim teorisinin karşılıklılık yasalarını motive etmiştir.
Öne çıkan isimler
- Carl Friedrich Gauss
- Adrien-Marie Legendre
- Leonhard Euler
İlgili konular
Temel eserler
- irelandRosen1990
Sıkça sorulan sorular
- Gauss aynı teoremi neden sekiz kez kanıtladı?
- Her kanıt farklı yapıları (Gauss toplamları, kafes noktası sayımı, siklotomi) aydınlatmıştır ve Gauss, daha yüksek karşılıklılık yasalarına genelleştirilebilecek bir kanıt aramıştır; bu da daha sonra cebirsel sayı teorisinin gelişimini tetiklemiştir.
- Legendre ve Jacobi sembolleri arasındaki fark nedir?
- Legendre sembolü, tek bir asal modül için tanımlanır ve karesel kalıntıları tam olarak tespit eder; Jacobi sembolü ise bunu hesaplama için tek bileşik modüllere genelleştirir, ancak bir değeri artık sayının bir kalıntı olduğunu garanti etmez.