Fermat'nın Son Teoremi
Fermat'nın Son Teoremi, n ikiden büyük herhangi bir üs için a üzeri n artı b üzeri n eşittir c üzeri n denklemini sağlayan üç pozitif tam sayının bulunmadığını ileri sürmektedir; bu iddia, eliptik eğrilerin modülerliği aracılığıyla çözülene kadar üç yüzyıldan fazla bir süre kanıtlanmamış kalmıştır.
Tanım
Fermat'nın Son Teoremi, n tam sayı üssü ikiden büyük olduğunda, x üzeri n artı y üzeri n eşittir z üzeri n denkleminin pozitif tam sayılar x, y, z içinde hiçbir çözümünün bulunmadığı ifadesidir.
Kapsam
Bu konu, Fermat'nın Son Teoremi'nin ifadesini, asal üslere ve Fermat eğrisine indirgenmesini, Kummer'in ideal sayılar ve düzenli asallar kullanarak on dokuzuncu yüzyıldaki ilerlemesini, varsayımsal bir çözüme bağlı Frey eğrisini, Ribet tarafından kanıtlanan ve modülerliğe bağlayan epsilon varsayımını ve argümanı kapatan yarı kararlı eliptik eğrilerin modülerliğine dair Wiles'ın kanıtını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Teoremi asal üsler ve dört üssü için kanıtlamak neden yeterlidir?
- Klasik yöntemler, özellikle Kummer'in ideal sayılar ve düzenli asallar teorisi, problemi ne kadar ilerletmiştir?
- Frey eğrisi, varsayımsal bir Fermat çözümünü imkansız özelliklere sahip bir eliptik eğriye nasıl dönüştürmektedir?
- Ribet teoremi ve modülerlik teoremi, kanıtı tamamlamak için nasıl birleşmektedir?
Temel kuramlar
- Kummer'in düzenli asalları
- Kummer, ideal sayılar kullanarak tüm düzenli asal üsler için Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlamış, bu süreçte cebirsel sayı teorisinin sınıf grubu mekanizmasını tanıtmıştır.
- Frey eğrisi ve Ribet teoremi
- Önemsiz olmayan bir Fermat çözümü, Ribet'in modüler olamayacağını kanıtladığı Frey eliptik eğrisini ortaya çıkaracaktır; dolayısıyla bu tür eğrilerin modülerliği, Fermat denkleminin hiçbir çözümü olmamasını zorunlu kılacaktır.
- Modülerlik teoremi (Wiles-Taylor)
- Wiles, Taylor ile birlikte, yarı kararlı rasyonel eliptik eğrilerin modüler olduğunu kanıtlamış, bu durum Frey eğrisinin varlığıyla çelişmekte ve böylece Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlamaktadır.
Klinik önem
Teoremin kendisinin doğrudan bir uygulaması olmasa da, kanıtın mekanizması — Galois temsilleri, deformasyon teorisi ve modülerlik kaldırma — Langlands programında ve eliptik eğri kriptografisine de bilgi veren aritmetik-geometri yöntemlerinde temel teknoloji haline gelmiştir.
Tarihçe
Fermat, iddiayı yaklaşık 1637'de Diophantus kopyasının kenarına kaydetmiş ve hiçbir zaman yazmadığı bir kanıtı olduğunu ileri sürmüştür. Euler, Sophie Germain ve Kummer, sonraki iki yüzyıl boyunca birçok durumu çözüme kavuşturmuştur; Frey, Serre ve Ribet, 1980'lerde bunu modülerliğe indirgemiştir ve Wiles, 1993'te bir kanıt duyurmuş, 1994'te Taylor ile tamamlamış ve 1995'te yayımlamıştır.
Öne çıkan isimler
- Pierre de Fermat
- Ernst Kummer
- Ken Ribet
- Andrew Wiles
İlgili konular
Temel eserler
- wiles1995
- wiles1995
Sıkça sorulan sorular
- Fermat'nın gerçekten bir kanıtı var mıydı?
- Neredeyse kesinlikle doğru genel bir kanıtı yoktu. Gerekli yöntemler ancak yirminci yüzyılda geliştirilmiştir ve on yedinci yüzyıla ait herhangi bir argüman, ilgili halkalarda başarısız olan tekil çarpanlara ayırma gibi varsayımlara dayanmış olacaktır.
- Üslerle ilgili bir denklem eliptik eğrilerle nasıl ilişkilidir?
- Varsayımsal bir çözüm, Frey eliptik eğrisine dönüştürülebilir; aritmetik özellikleri modülerlik teoremiyle çelişecektir, bu nedenle eliptik eğrilerin modülerliği, orijinal denklemin çözülemez olmasını zorunlu kılmaktadır.