Gözlemlenebilirler ve Kuantum Ölçümü
Kuantum mekaniğinde her ölçülebilir nicelik, özdeğerleri olası sonuçlar olan bir Hermitsel operatör ile temsil edilmektedir; bir ölçüm, Born kuralına göre ağırlıklandırılmış olarak rastgele bir özdeğer döndürmekte ve sistemi eşleşen özdurumda bırakmaktadır.
Tanım
Bir gözlemlenebilir, sistemin Hilbert uzayında özdeğerleri olası ölçüm sonuçları olan bir öz-eşlenik operatördür; ölçüm, durumu bir özuzaya yansıtmakta ve Born kuralı tarafından verilen olasılıkla karşılık gelen özdeğeri döndürmektedir.
Kapsam
Konu, Hermitsel ve öz-eşlenik operatörleri ve bunların reel spektrumlarını, özdeğer denklemini ve spektral ayrışımı, beklenti değerlerini ve bunların zamana bağlılığını, değişmeli gözlemlenebilirleri ve uyumlu gözlemlenebilirlerin tam kümelerini, değişmeli olmayan operatörler için belirsizlik ilkesini ve pozitif operatör değerli ölçümlerle tanımlanan genelleştirilmiş ölçümleri kapsamaktadır.
Temel sorular
- Gözlemlenebilirler neden Hermitsel operatörlerle temsil edilmek zorundadır?
- Tekrarlanan ölçümlerin ortalaması ve yayılımı durumdan nasıl hesaplanmaktadır?
- İki gözlemlenebilir ne zaman keyfi hassasiyetle eş zamanlı olarak ölçülebilmektedir?
- Belirsizlik ilkesi uyumsuz gözlemlenebilirler hakkında ne söylemektedir?
Anahtar kavramlar
- Hermitsel operatör
- özdeğer ve özdurum
- beklenti değeri
- değişmeli gözlemlenebilirler
- uyumlu gözlemlenebilirlerin tam kümesi
- Heisenberg belirsizliği
Temel kuramlar
- Gözlemlenebilirler için spektral teorem
- Bir öz-eşlenik operatör, reel özdeğerlere ve ortonormal bir özbazise sahiptir, bu nedenle herhangi bir gözlemlenebilir, özdeğerlerinin ilgili özuzaylara yansıtıcılarla çarpımının bir toplamına veya integraline ayrıştırılabilmektedir ki bu, ölçümün tam olarak faydalandığı yapıdır.
- Belirsizlik ilkesi
- İki gözlemlenebilir için, herhangi bir durumdaki ölçümlerinin standart sapmalarının çarpımı, komütatörlerinin beklenti değerinin büyüklüğünün yarısı ile alttan sınırlıdır, bu nedenle konum ve momentum gibi değişmeli olmayan nicelikler keskin bir şekilde tanımlanamamaktadır.
Klinik önem
Ölçümün operatör resmi, ölçülen enerjilerin operatör özdeğerleri olduğu spektroskopinin ve beklenti değerleri ile uyumlu gözlemlenebilir kümelerinin bir durum hakkında ne kadar bilginin çıkarılabileceğini belirlediği kuantum metrolojisi ve tomografisinin temelini oluşturmaktadır; belirsizlik ilkesi, algılama ve mikroskopideki hassasiyet üzerinde temel sınırlar koymaktadır.
Tarihçe
Heisenberg, belirsizlik ilişkisini 1927'de tanıtmıştır ve aynı yıl operatör formalizmi şekillenmiştir; von Neumann'ın 1932 tarihli incelemesi, ölçüme ve öz-eşlenik operatörlere titiz bir temel sağlamış ve sonraki çalışmalar, izdüşümsel ölçümleri kuantum bilgisinde pozitif operatör değerli ölçümlere genelleştirmiştir.
Tartışmalar
- Belirsizlik ilkesinin yorumlanması
- Belirsizlik ilkesinin, ölçüm cihazının kaçınılmaz bir bozulmasını mı yoksa ölçümden bağımsız olarak kuantum durumlarının içsel bir özelliğini mi yansıttığı Heisenberg'den bu yana tartışılmaktadır; modern ölçüm-bozulma ilişkileri bu iki kavramı ayırt etmektedir.
Öne çıkan isimler
- Werner Heisenberg
- John von Neumann
- Paul Dirac
- Eugene Wigner
İlgili konular
Temel eserler
- vonneumann1955
- sakurai2017
Sıkça sorulan sorular
- Gözlemlenebilirlerin Hermitsel olması neden gereklidir?
- Hermitsel operatörler, ölçüm sonuçlarının reel sayılar olması gerekliliğine uygun reel özdeğerlere sahiptir ve Born kuralının tutarlı bir sonuç olasılıkları kümesi atamasına izin veren tam bir ortonormal özbazise sahiptirler.
- Herhangi iki gözlemlenebilir aynı anda ölçülebilir mi?
- Yalnızca operatörleri değişmeli ise; değişmeli gözlemlenebilirler bir özbazisi paylaşmakta ve eş zamanlı olarak belirli değerler atanabilmektedir, oysa değişmeli olmayan gözlemlenebilirler, eş zamanlı keskin değerleri yasaklayan bir belirsizlik ilişkisine uymaktadır.