Doğrusal ve Pell Denklemleri
Doğrusal Diofant denklemleri Öklid algoritması ile tamamen çözülmektedir; x kare eksi d y kare eşittir bir şeklindeki tam sayı çözümlerini arayan Pell denklemi ise sürekli kesirler aracılığıyla reel kuadratik cisimlerin derin yapısını ortaya koymaktadır.
Tanım
Doğrusal bir Diofant denklemi, tam sayı katsayılı doğrusal bir denklemin tam sayı çözümlerini aramaktadır; Pell denklemi, karesel olmayan pozitif bir d tam sayısı için x kare eksi d y kare eşittir bir şeklindeki kuadratik Diofant denklemidir ve çözümleri sonsuz, sonlu üretilmiş bir aile oluşturmaktadır.
Kapsam
Bu konu, iki veya daha fazla değişkenli doğrusal Diofant denklemlerini ve en büyük ortak bölenler ile Bezout özdeşliği aracılığıyla tam çözümlerini, Pell denklemini ve negatif ile genelleştirilmiş biçimlerini, kuadratik irrasyonellerin sürekli kesir açılımını, temel çözümü ve tüm çözümlerin ondan nasıl türetildiğini, ayrıca reel kuadratik bir cismin birimleri ve temel birimi ile olan bağlantısını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Doğrusal bir Diofant denklemi ne zaman tam sayı çözümlerine sahiptir ve tam çözüm kümesi nasıl tanımlanır?
- Pell denklemi, karesel olmayan d için neden her zaman aşikar olmayan çözümlere sahiptir?
- d'nin karekökünün sürekli kesir açılımı temel çözümü nasıl üretir?
- Tüm Pell çözümleri temel çözümden nasıl türetilir ve bu, kuadratik bir cismin birimleri ile nasıl ilişkilidir?
Temel kuramlar
- Doğrusal Diofant denklemlerinin çözülebilirliği
- a x artı b y eşittir c denklemi, a ve b'nin en büyük ortak böleni c'yi böldüğünde tam sayı çözümlerine sahiptir ve Bezout özdeşliği daha sonra belirli bir çözüm ile tam bir parametreli aileyi vermektedir.
- Pell çözümlerinin varlığı ve yapısı
- Karesel olmayan d için Pell denklemi sonsuz sayıda çözüme sahiptir; temel bir çözüm mevcuttur ve diğer tüm çözümler, reel kuadratik cisimdeki karşılık gelen birimin kuvvetleri alınarak elde edilmektedir.
- Sürekli kesirler ve kuadratik irrasyoneller
- d'nin karekökünün sürekli kesir açılımı sonunda periyodiktir ve yakınsakları temel Pell çözümünü sağlamaktadır, bu da Diofant çözülebilirliğini Diofant yaklaşımına bağlamaktadır.
Klinik önem
Pell tipi denklemler ve sürekli kesirler, kuadratik cisimlerin temel birimlerini ve regülatörlerini hesaplama algoritmalarında ve irrasyonel oranları yaklaştırmada yer almaktadır; takvim tasarımı, dişli oranları ve kafes indirgeme gibi pratik kullanımlara sahiptir.
Tarihçe
Hintli matematikçiler, özellikle yedinci yüzyılda Brahmagupta ve chakravala yöntemiyle Bhaskara II, Pell denklemini Avrupa'dan yüzyıllar önce çözmüşlerdir. Fermat bunu bir meydan okuma olarak ortaya koymuş, Lagrange ise 1768'de ilk tam Avrupa kanıtını vermiştir; Pell adı, Euler tarafından yapılan tarihsel bir yanlış atıftır.
Öne çıkan isimler
- Brahmagupta
- Joseph-Louis Lagrange
- Pierre de Fermat
- John Pell
İlgili konular
Temel eserler
- hardyWright2008
Sıkça sorulan sorular
- Neden Pell denklemi olarak adlandırılmaktadır?
- Tarihsel bir hata nedeniyle: Euler denklemi John Pell'e atfetmiştir, ancak Pell bu konuda çok az çalışma yapmıştır; önemli erken gelişmeler Hintli matematikçiler ve Fermat ile Lagrange tarafından yapılmıştır.
- Bir Pell çözümü nasıl bulunur?
- d'nin karekökünü sürekli bir kesir olarak açın; periyodik yakınsakları temel çözümü verir, bu çözümden diğer her çözüm tekrarlanan bileşimle üretilir.