L-Fonksiyonları ve Modülerlik
Her modüler özbiçim (eigenform), bir Euler çarpımı ve bir fonksiyonel denklem içeren bir L-fonksiyonuna sahiptir; modülerlik teoremi ise rasyonel eliptik eğrilerin L-fonksiyonlarını ağırlık-iki yeni biçimlerin (newform) L-fonksiyonları ile özdeşleştirmekte olup, modern sayı teorisinin temel taşlarından birini oluşturmaktadır.
Tanım
Modüler bir biçimin L-fonksiyonu, Fourier katsayılarından oluşturulan Dirichlet serisidir; modülerlik ise rasyoneller üzerindeki herhangi bir eliptik eğrinin L-fonksiyonunun, eşleşen seviyede (level) bir ağırlık-iki yeni biçimin (newform) L-fonksiyonu ile çakıştığını belirten teoremdir.
Kapsam
Bu konu, modüler bir biçimin L-fonksiyonunun Fourier katsayılarından Mellin dönüşümü aracılığıyla inşasını, biçimin modüler dönüşümünden türetilen analitik devamını ve fonksiyonel denklemini, Hecke'nin ters teoremini, eliptik eğri ve modüler L-fonksiyonlarını eşitleyen modülerlik teoremini (eski adıyla Taniyama-Shimura-Weil varsayımı), ilişkili Galois temsillerini ve tüm bunların Langlands programındaki yerini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Modüler bir biçimin L-fonksiyonu nasıl inşa edilir ve Mellin dönüşümü fonksiyonel denklemini nasıl verir?
- Hecke'nin ters teoremi, hangi Dirichlet serilerinin modüler biçimlerden geldiği hakkında neyi ifade eder?
- Modülerlik teoremi tam olarak neyi ileri sürer ve eliptik eğri ile modüler L-fonksiyonları nasıl eşleştirilmiştir?
- Galois temsilleri bu yazışmaya (correspondence) nasıl aracılık eder ve Langlands programına nasıl uyar?
Temel kuramlar
- L-fonksiyonu, Mellin dönüşümü ve fonksiyonel denklem
- Bir cuspidal biçimin (cusp form) Mellin dönüşümü, onun tamamlanmış L-fonksiyonudur; biçimin modüler grubun ters çevrimi (inversion) altındaki davranışı, s ve ağırlık eksi s'deki değerleri ilişkilendiren fonksiyonel denkleme dönüşmektedir.
- Modülerlik teoremi
- Rasyoneller üzerindeki her eliptik eğri modülerdir: Hasse-Weil L-fonksiyonu, bir ağırlık-iki yeni biçimin (newform) L-fonksiyonuna eşittir; bu, Wiles tarafından kanıtlanmış ve Breuil, Conrad, Diamond ve Taylor tarafından tamamlanmıştır.
- Galois temsilleri ve Langlands
- Özbiçimler (eigenform), Frobenius izleri Hecke özdeğerleri olan iki boyutlu Galois temsillerine yol açar; bunları eliptik eğrilerle eşleştirmek, Langlands yazışmasının (correspondence) ilk değişmeli olmayan (nonabelian) durumudur.
Klinik önem
Modülerlik mekanizması — Galois temsilleri ve modülerlik kaldırma (modularity lifting) — Fermat'nın Son Teoremi'nin kanıtını sağlamış ve günümüzde aritmetik geometrinin büyük bir kısmının temelini oluşturmaktadır; açık L-fonksiyonları ayrıca kriptografide kullanılan eliptik eğriler için hesaplama araçlarına rehberlik eden varsayımları (Birch-Swinnerton-Dyer) beslemektedir.
Tarihçe
Hecke, 1930'larda modüler L-fonksiyonlarının analitik devamını ve fonksiyonel denklemini ortaya koymuştur. Modülerlik üzerine Taniyama-Shimura-Weil varsayımı 1950'lerden itibaren şekillenmiştir; Wiles, 1994'te yarı kararlı durumu (semistable case) kanıtlamış (Fermat'nın Son Teoremi'ni ortaya koyarak) ve tam modülerlik teoremi 2001 yılında Breuil, Conrad, Diamond ve Taylor tarafından tamamlanmıştır.
Öne çıkan isimler
- Erich Hecke
- Goro Shimura
- Andre Weil
- Andrew Wiles
- Robert Langlands
İlgili konular
Temel eserler
- diamondShurman2005
Sıkça sorulan sorular
- Bir eliptik eğrinin modüler olması ne anlama gelir?
- Bu, eğrinin her asal sayıya göre (modulo) noktalarını sayarak oluşturulan L-fonksiyonunun, belirli bir modüler biçimin L-fonksiyonu ile tam olarak eşleştiği anlamına gelir; böylece eğri, kesin bir anlamda, modüler fonksiyonlar tarafından parametrelenmiş olmaktadır.
- Bu, Langlands programıyla nasıl ilişkilidir?
- Eliptik eğrilerin modülerliği, Galois temsilleri ile otomorfik biçimler arasında derin bir yazışma (correspondence) öngören Langlands felsefesinin en basit değişmeli olmayan (nonabelian) örneğidir; modüler biçimler ise bu sözlüğün otomorfik tarafını oluşturmaktadır.