Sonlu Hacim Yöntemleri
Sonlu hacim yöntemleri, korunum yasalarını, etki alanını kontrol hacimlerine bölerek ve her birindeki ortalama değeri sınırları boyunca akılardan güncelleyerek ayrıklaştırmaktadır; bu sayede kütle, momentum ve enerji yapısal olarak korunmaktadır.
Tanım
Sonlu hacim yöntemi, bir korunum yasasının ayrıklaştırılması olup, her bir kontrol hacmi üzerindeki çözümün ortalamasını saklar ve bu ortalamaları hacim sınırları boyunca sayısal akıları dengeleyerek geliştirir; böylece ayrık şema yerel ve küresel olarak korunumlu olmaktadır.
Kapsam
Bu konu, kısmi diferansiyel denklemlerin integral (korunum) formunu, hücre ortalamalı bilinmeyenleri ve sayısal akı fonksiyonlarını, Godunov yöntemini ve yaklaşık Riemann çözücülerini, şoklar yakınındaki yanıltıcı salınımları bastıran eğim sınırlayıcılı yüksek çözünürlüklü şemaları ve sonlu hacim yöntemlerinin hesaplamalı akışkanlar dinamiğindeki rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- İntegral korunum formundan çalışmak, yöntemi neden doğası gereği korunumlu kılmaktadır?
- Hücre arayüzlerindeki sayısal akılar nasıl tanımlanır ve bir akıyı tutarlı ve kararlı kılan nedir?
- Godunov tipi şemalar ve Riemann çözücüleri, şoklar gibi süreksizlikleri nasıl yakalar?
- Yüksek çözünürlüklü yöntemler, süreksizlikler yakınındaki yüksek dereceli şemaların salınımlarından nasıl kaçınır?
Temel kuramlar
- Korunum ve sayısal akı
- Komşu hücreler arasında paylaşılan tek bir sayısal akı kullanarak hücre ortalamalarını güncelleyerek, yöntem temel miktarı tam olarak korumaktadır; akının gerçek akı ile tutarlılığı ve uygun bir kararlılık koşulu, korunum yasasının zayıf çözümlerine yakınsamayı sağlamaktadır.
- Godunov yöntemleri ve Riemann çözücüleri
- Godunov'un yaklaşımı, her hücre arayüzünü, (tam veya yaklaşık) çözümü akıyı tanımlayan yerel bir Riemann problemi olarak ele almaktadır; bu da şemanın şokları ve temas süreksizliklerini keskin ve doğru bir şekilde yakalamasına olanak tanımaktadır.
- Yüksek çözünürlüklü şemalar ve sınırlayıcılar
- Temel Godunov şemalarının birinci dereceden doğruluğunu yanıltıcı salınımlar oluşturmadan aşmak için, yüksek çözünürlüklü yöntemler daha yüksek dereceli arayüz durumlarını yeniden oluşturur ve süreksizlikler yakınında toplam varyasyon azaltıcı bir özelliği uygulayan eğim veya akı sınırlayıcıları kullanır.
Mekanizmalar
Korunum yasasının bir kontrol hacmi üzerinde entegre edilmesi, uzaysal türevleri yüzey akılarına dönüştürmektedir; bu nedenle bir hücre ortalamasının değişim hızı, yüzeylerinden geçen net akıya eşit olmaktadır. Komşu hücreler her yüzey akısını paylaştığı için, bir hücreden çıkan miktar komşusuna girmekte ve toplam miktar tam olarak korunmaktadır. Arayüz akısı, her iki taraftaki farklı durumlar tarafından ortaya konan Riemann probleminin tam veya yaklaşık olarak çözülmesiyle hesaplanmaktadır; bu, dalga yapısını ve süreksizlikleri yakalamaktadır. Yüksek çözünürlüklü varyantlar, her hücre içinde önce daha yüksek dereceli bir profil yeniden oluşturur ve yeni ekstremumları önlemek için bunu sınırlar, böylece düzgün bölgelerde ikinci dereceden doğruluk elde ederken, şoklarda salınımsız kalmaktadır.
Klinik önem
Sonlu hacim yöntemleri, hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde standart bir ayrıklaştırma yöntemi olup, sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akışların, aerodinamiğin, şok ve patlama fenomenlerinin, sığ su ve atmosferik ve okyanus akışlarının, gözenekli ortam ve rezervuar simülasyonlarının modellenmesinde merkezi bir öneme sahiptir; zira fiziksel korunum yasalarına saygı duymakta ve süreksizlikleri sağlam bir şekilde ele almaktadırlar.
Tarihçe
Korunumlu, Riemann problemi tabanlı yaklaşım, Godunov'un 1959 tarihli şemasıyla ortaya çıkmıştır; van Leer, Harten ve diğerleri tarafından 1970'ler ve 1980'lerde geliştirilen yüksek çözünürlüklü, toplam varyasyon azaltıcı yöntemler ve sınırlayıcılar, sonlu hacim yöntemlerini sıkıştırılabilir akış ve diğer hiperbolik korunum yasaları için baskın bir çerçeve haline getirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Sergei Godunov
- Peter Lax
- Bram van Leer
- Randall J. LeVeque
- Eleuterio Toro
İlgili konular
Temel eserler
- leveque2002
- toro2009
Sıkça sorulan sorular
- Sonlu hacim yöntemleri neden korunumlu olmaktadır?
- Hücre ortalamalarını komşu hücreler arasında paylaşılan akılar kullanarak güncellerler, bu nedenle bir hücreden çıkan herhangi bir miktar tam olarak bitişik hücreye girmektedir. Tüm etki alanı üzerinde toplandığında, toplam miktar yalnızca etki alanı sınırı üzerinden değişir, bu da fiziksel korunum yasasını yansıtmaktadır.
- Şoklar yakınında neden sınırlayıcılara ihtiyaç duyulmaktadır?
- Basit yüksek dereceli şemalar, süreksizlikler yakınında yanıltıcı salınımlar (aşma ve eksik kalma) üretmektedir. Eğim ve akı sınırlayıcıları, dik gradyanları tespit eder ve yeniden yapılandırma derecesini yerel olarak azaltır, böylece çözümün monoton ve salınımsız kalmasını sağlarken, düzgün bölgelerdeki doğruluğu korumaktadır.