Formlar neden antisimetrik olmak zorundadır?

Antisimetri yönelimi kodlar ve yönlendirilmiş manifoldlar üzerindeki entegrasyonu koordinatlardan bağımsız hale getirir — değişken değiştirme Jakobyeni, dış çarpımın ürettiği determinant olarak tam da ortaya çıkar.

Kapalı bir form ile tam bir form arasındaki fark nedir?

Kapalı bir formun dış türevi sıfırdır; tam bir form ise başka bir formun dış türevidir. Her tam form kapalıdır ve de Rham kohomolojisi, kaç tane kapalı formun tam olamadığını ölçer.

Diferansiyel Formlar

Diferansiyel formlar, yönlendirilmiş manifoldlar üzerinde entegre edilebilen antisimetrik nesnelerdir ve dış türev, Stokes teoremi ile birlikte vektör kalkülüsünün klasik teoremlerini tek bir ifade altında birleştirir.

PaperMind ile konu bulYakındaMakale ve konu bul

Tools & resources

Slaytları indir

Learn & explore

VideoYakında

Tanım

Düzgün bir manifold üzerindeki bir diferansiyel k-form, teğet uzaylar üzerinde değişmeli k-lineer fonksiyonların düzgün bir alanıdır; formlar toplanabilir, dış çarpım (wedge product) ile çarpılabilir, dış türev ile türevlenebilir ve yönlendirilmiş k-boyutlu alt manifoldlar üzerinde entegre edilebilir.

Kapsam

Bu konu, diferansiyel formların dış cebirini, dış çarpımı (wedge product), dış türevi ve düzgün haritalar altındaki geri çekmeyi (pullback) ele almaktadır. En yüksek dereceli formların yönelimini ve entegrasyonunu tanımlayarak genelleştirilmiş Stokes teoremi ile sonuçlanır ve kapalı bir formun tam olmasının önündeki engel olarak de Rham kohomolojisini tanıtır. İç çarpım, Cartan'ın sihirli formülü aracılığıyla Lie türevi ve hacim ile akıya uygulamaları, düzgün geometriyi topolojiye bağlayarak genel resmi tamamlar.

Temel sorular

Koordinatlardan bağımsız olarak entegre edilebilen nesneler için antisimetrinin doğru koşul olmasının nedeni nedir?
Dış türev, gradyanı, rotasyonu ve diverjansı aynı anda nasıl genelleştirir?
Stokes teoremi, kalkülüsün temel teoremini, Green, Gauss ve klasik Stokes teoremini nasıl birleştirir?
De Rham kohomolojisi, tam olmayan kapalı formlar hakkında neyi ölçer?

Anahtar kavramlar

Dış cebir ve dış çarpım (wedge product)
Dış türev ve geri çekme (pullback)
Formların yönelimi ve entegrasyonu
Genelleştirilmiş Stokes teoremi
De Rham kohomolojisi ve kapalı ile tam formlar

Klinik önem

Diferansiyel formlar, elektromanyetizmanın (Maxwell denklemleri form denklemleri olarak), Hamilton mekaniğinin (simplektik formlar) ve ayar teorisinin doğal dilidir ve de Rham teoremi aracılığıyla diferansiyel geometriyi cebirsel topolojiye bağlar.

Tarihçe

Grassmann'ın dış cebiri üzerine inşa ederek, Cartan 20. yüzyılın başlarında diferansiyel formların kalkülüsünü geliştirdi; de Rham teoremi (1931), formların kohomolojisini manifoldun topolojisine bağlayarak formları hem geometri hem de topoloji için merkezi hale getirdi.

Öne çıkan isimler

Élie Cartan
Georges de Rham
Hermann Grassmann

İlgili konular

Temel eserler

lee2012
tu2011

Sıkça sorulan sorular

Formlar neden antisimetrik olmak zorundadır?: Antisimetri yönelimi kodlar ve yönlendirilmiş manifoldlar üzerindeki entegrasyonu koordinatlardan bağımsız hale getirir — değişken değiştirme Jakobyeni, dış çarpımın ürettiği determinant olarak tam da ortaya çıkar.
Kapalı bir form ile tam bir form arasındaki fark nedir?: Kapalı bir formun dış türevi sıfırdır; tam bir form ise başka bir formun dış türevidir. Her tam form kapalıdır ve de Rham kohomolojisi, kaç tane kapalı formun tam olamadığını ölçer.