Kaos Kuramı
Kaos kuramı, başlangıç koşullarına hassas bağımlılıkları nedeniyle uzun vadeli davranışları etkili bir şekilde öngörülemez olan deterministik sistemleri incelemektedir.
Tanım
Dinamik bir sistem, deterministik olmasına rağmen, başlangıç koşullarına hassas bağımlılık gösteren periyodik olmayan sınırlı yörüngeler sergilediğinde kaotiktir; bu durumda yakın durumlar üstel olarak ıraksar ve öngörü zamanla hızla bozulur.
Kapsam
Bu konu, başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı ve kelebek etkisini, ıraksama ölçüsü olarak Lyapunov üstellerini, garip çekicileri (strange attractors) ve fraktal yapıyı, periyot ikiye katlama (period doubling) gibi kaosa giden yolları, sembolik dinamikleri ve at nalı haritasını (horseshoe map) ile kaotik sistemlerin öngörülebilirlik ufkunu kapsamaktadır.
Temel sorular
- Kaotik hareket ile rastgele veya sadece karmaşık hareket arasındaki fark nedir?
- Başlangıç koşullarına olan hassasiyet nasıl nicelendirilir?
- Garip çekiciler (strange attractors) gibi hangi geometrik yapılar kaosu desteklemektedir?
- Bir sistem hangi yollarla kaosa geçiş yapmaktadır?
Temel kuramlar
- Hassas bağımlılık ve Lyapunov üstelleri
- Kaotik yörüngeler, pozitif bir Lyapunov üsteli tarafından belirlenen bir oranla üstel olarak ayrışır; bu üstel, sistemin ne kadar ileriye öngörülebileceğini sınırlar.
- Garip çekiciler (Strange attractors)
- Disipatif kaotik sistemler, dinamiklerin kaotik ancak sınırlı olduğu, Lorenz çekicisi gibi fraktal geometriye sahip çekiciler üzerine yerleşmektedir.
- At nalı haritası (Horseshoe map) ve sembolik dinamikler
- Smale'ın at nalı (horseshoe) modeli, germe ve katlamanın yörüngeleri sembol dizileriyle kodlanan sağlam bir kaotik değişmez küme üreterek kaosa yönelik titiz bir mekanizma sağladığını göstermektedir.
Klinik önem
Kaos, hava ve iklimin sınırlı öngörülebilirliğini, kalp ritimlerindeki ve popülasyon biyolojisindeki düzensiz dinamikleri, akışkanlardaki karışımı açıklamaktadır ve güvenli iletişim ile rastgele sayı üretiminde kullanılmaktadır; keşfi, deterministik öngörü hakkındaki beklentileri yeniden şekillendirmiştir.
Tarihçe
Poincare, üç cisim probleminde kaotik davranışları sezmiştir, ancak alanı kristalize eden, Lorenz'in 1963'te basit bir hava modelinde hassas bağımlılığı keşfetmesi olmuştur. Smale'ın at nalı (horseshoe) modeli, titiz bir mekanizma sunmuştur ve Feigenbaum'un 1970'lerdeki çalışmaları, kaosa giden periyot ikiye katlama (period doubling) yolundaki evrensel sabitleri ortaya koymuştur.
Öne çıkan isimler
- Henri Poincare
- Edward Lorenz
- Stephen Smale
- Mitchell Feigenbaum
İlgili konular
Temel eserler
- lorenz1963
- strogatz2015
- wiggins1990
Sıkça sorulan sorular
- Kelebek etkisi nedir?
- Bu, başlangıç koşullarına hassas bağımlılığın canlı bir adıdır: kaotik bir sistemde, başlangıç durumundaki küçük bir değişiklik, metaforik olarak bir kelebeğin kanat çırpması, daha sonraki durumda büyük bir farklılığa yol açabilmektedir. Terim, Lorenz'in atmosferik çalışmalarından gelmektedir.
- Kaos, öngörünün imkansız olduğu anlamına mı gelmektedir?
- Kısa vadeli öngörü mümkün olmaya devam etmektedir, ancak hatalar üstel olarak büyüdüğü için, en büyük Lyapunov üsteli tarafından belirlenen sonlu bir öngörü ufku bulunmaktadır. Bu ufkun ötesinde, sistemin yalnızca istatistiksel özellikleri öngörülebilmekte, kesin durumu ise öngörülememektedir.