Çekiciler
Bir çekici, dinamik bir sistemin yörüngelerinin yakınsadığı, geçici durumlar (transients) ortadan kalktıktan sonra sistemin uzun vadeli davranışını yakalayan bir kümedir.
Tanım
Bir çekici, başlangıç koşullarının açık bir komşuluğunu çeken, böylece yakındaki yörüngelerin zamanla ona yaklaştığı kapalı bir değişmez kümedir; bir nokta, kapalı bir eğri veya geometrik olarak karmaşık bir garip çekici olabilmektedir.
Kapsam
Bu konu; sabit nokta, limit döngü ve torus çekicilerini, çekim havzalarını, düzlemdeki Poincare-Bendixson teoremini, fraktal yapıya sahip garip çekicileri ve çekicilerin Lyapunov üsleri ile fraktal boyut kullanılarak karakterize edilmesini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir dağıtıcı sistem hangi uzun vadeli durumlara yerleşmektedir?
- Belirli bir çekiciye hangi başlangıç koşulları çekilmektedir?
- Düzlemde ve daha yüksek boyutlarda ne tür çekiciler mümkündür?
- Bir garip çekicinin fraktal geometrisi nasıl ölçülmektedir?
Temel kuramlar
- Poincare-Bendixson teoremi
- Denge noktalarından kaçınan düzlemsel bir sistemin sınırlı bir yörüngesi, periyodik bir yörüngeye yaklaşmak zorundadır; bu nedenle iki boyuttaki tek çekiciler sabit noktalar ve limit döngülerdir ve kaos en az üç boyut gerektirmektedir.
- Garip çekiciler
- Dağıtıcı kaotik sistemler, üzerinde dinamiklerin başlangıç koşullarına duyarlı olduğu fraktal geometriye sahip çekicilere sahiptir; buna Lorenz ve Henon çekicileri örnek olarak gösterilmektedir.
- Çekim havzaları
- Her çekici, kendi havzasını oluşturan başlangıç koşulları kümesini çekmektedir ve rekabet eden havzalar arasındaki sınırlar pürüzsüz veya fraktal olabilmektedir.
Klinik önem
Çekiciler, fiziksel ve biyolojik sistemlerin olası kararlı davranışlarını sınıflandırmakta, denge durumlarını, sürekli salınımları ve kaosu ayırt etmektedir. Havzaların geometrisi ise ekoloji, iklim ve mühendislikteki çoklu kararlılık (multistability) ve alternatif durumlar arasındaki ani geçişlerin (tipping) temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Poincare-Bendixson teoremi, 1900'lü yıllarda düzlemsel çekicilerin sınırlı repertuvarını belirlemiştir. Garip çekici terimi, Ruelle ve Takens tarafından 1971 yılında türbülans teorilerinde ortaya atılmış ve Lorenz çekicisi ise fraktal kaotik çekimin arketipik örneği haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Henri Poincare
- Ivar Bendixson
- Edward Lorenz
- David Ruelle
İlgili konular
Temel eserler
- guckenheimer1983
- wiggins1990
Sıkça sorulan sorular
- Bir garip çekiciye neden garip denilmektedir?
- Çünkü fraktal, tam sayı olmayan boyutlu bir geometriye sahiptir ve sıradan sistemleri çeken basit noktalar ve döngülerin aksine kaotik dinamikleri desteklemektedir. Bu isim hem karmaşık yapısını hem de üzerindeki hareketin başlangıç koşullarına olan hassas bağımlılığını işaret etmektedir.
- Kaos neden iki boyutta imkansızdır?
- Poincare-Bendixson teoremi, sınırlı düzlemsel yörüngelerin bir sabit noktaya veya kapalı bir döngüye yaklaşması gerektiğini göstermekte, kaosun aperiodik dolaşımına yer bırakmamaktadır. Bu nedenle, kaotik çekiciler faz uzayında en az üç boyut gerektirmektedir.