การกระจายของจำนวนเฉพาะและทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ
ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะทำให้ความเข้าใจที่ว่าจำนวนเฉพาะจะเบาบางลงในลักษณะลอการิทึมมีความแม่นยำ: จำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตหนึ่งจะเข้าใกล้ค่าเชิงเส้นกำกับของขอบเขตนั้นหารด้วยลอการิทึมธรรมชาติของมัน
Definition
ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะระบุว่าจำนวนของจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน x ซึ่งเขียนแทนด้วย pi ของ x จะเท่ากับค่าเชิงเส้นกำกับของ x หารด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ x หรือเทียบเท่ากับลอการิทึมอินทิกรัลของ x
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะและพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของมัน, ขอบเขตพื้นฐานของเชบีเชฟและฟังก์ชันผลรวมไซและทีตา, ทฤษฎีบทของเมอร์เทนส์, การกล่าวถึงและการพิสูจน์เชิงวิเคราะห์ของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะผ่านการไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตาบนเส้นที่มีส่วนจริงเท่ากับหนึ่ง, การประมาณค่าด้วยลอการิทึม-อินทิกรัล, พจน์ความคลาดเคลื่อนและการเชื่อมโยงกับสมมติฐานรีมันน์, และช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะและฮิวริสติกของจำนวนเฉพาะคู่แฝด
Core questions
- ขอบเขตของเชบีเชฟและการประมาณค่าของเมอร์เทนส์จำกัดความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะอย่างไรก่อนที่จะมีทฤษฎีบทฉบับสมบูรณ์?
- เหตุใดทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะจึงเทียบเท่ากับการที่ฟังก์ชันซีตาไม่มีศูนย์บนเส้นที่ส่วนจริงเท่ากับหนึ่ง?
- การประมาณค่าด้วยลอการิทึม-อินทิกรัลดีเพียงใด และพจน์ความคลาดเคลื่อนขึ้นอยู่กับสมมติฐานรีมันน์อย่างไร?
- มีอะไรที่ทราบและคาดการณ์เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกัน รวมถึงจำนวนเฉพาะคู่แฝดบ้าง?
Key theories
- ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ
- พิสูจน์โดยอาดามาร์และเดอ ลา วัลเล ปูแซงอย่างอิสระในปี 1896 ซึ่งให้ค่าเชิงเส้นกำกับนำสำหรับการนับจำนวนเฉพาะ; ข้อความที่เทียบเท่าสำหรับฟังก์ชันไซของเชบีเชฟเป็นรูปแบบที่เป็นธรรมชาติเชิงวิเคราะห์
- บริเวณที่ไม่มีศูนย์และพจน์ความคลาดเคลื่อน
- ขนาดของบริเวณที่ไม่มีศูนย์สำหรับฟังก์ชันซีตาทางซ้ายของเส้นที่มีส่วนจริงเท่ากับหนึ่งจะควบคุมความคลาดเคลื่อนในทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ; สมมติฐานรีมันน์จะให้ความคลาดเคลื่อนประเภทรากที่สองที่เหมาะสมที่สุด
- ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะและฮิวริสติกของคราเมอร์
- ช่องว่างเฉลี่ยใกล้ x จะประมาณลอการิทึมของ x; ฮิวริสติกเชิงความน่าจะเป็นคาดการณ์การกระจายของช่องว่างขนาดใหญ่และเล็ก และความก้าวหน้าของตะแกรงได้พิสูจน์การมีอยู่ของช่องว่างที่มีขอบเขตจำนวนอนันต์
Clinical relevance
ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะที่ระบุโดยทฤษฎีบทนี้ช่วยให้นักเข้ารหัสทราบว่าต้องทดสอบผู้สมัครแบบสุ่มจำนวนเท่าใดเพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีขนาดที่กำหนด ซึ่งควบคุมประสิทธิภาพของการสร้างคีย์ RSA และ Diffie-Hellman โดยตรง
History
เกาส์และเลอฌ็องด์ได้ตั้งข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับการนับจำนวนเฉพาะเชิงเส้นกำกับประมาณปี 1800 เชบีเชฟได้กำหนดขอบเขตบนและล่างที่เข้มงวดในช่วงทศวรรษ 1850 รีมันน์ได้ร่างกลยุทธ์เชิงวิเคราะห์ในปี 1859 และอาดามาร์และเดอ ลา วัลเล ปูแซงได้พิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ในปี 1896 เซลเบิร์กและเออร์โดสได้ให้การพิสูจน์เชิงพื้นฐานในภายหลังในปี 1949
Key figures
- Bernhard Riemann
- Pafnuty Chebyshev
- Jacques Hadamard
- Charles-Jean de la Vallee Poussin
Related topics
Seminal works
- davenport2000
Frequently asked questions
- ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะช่วยให้คุณทำนายจำนวนเฉพาะตัวถัดไปได้หรือไม่?
- ไม่ ทฤษฎีบทนี้อธิบายความหนาแน่นเฉลี่ยของจำนวนเฉพาะในช่วงกว้างๆ ไม่ได้ระบุตำแหน่งของจำนวนเฉพาะแต่ละตัว และจำนวนเฉพาะยังคงมีความไม่สม่ำเสมอในระดับเล็กๆ
- ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับสมมติฐานรีมันน์อย่างไร?
- ตัวทฤษฎีบทเองนั้นไม่มีเงื่อนไข แต่สมมติฐานรีมันน์จะระบุความคลาดเคลื่อนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ในการประมาณค่า ซึ่งควบคุมว่าจำนวนเฉพาะจริงสามารถเบี่ยงเบนจากลอการิทึมอินทิกรัลได้มากน้อยเพียงใด