ความซับซ้อนและการวิเคราะห์อัลกอริทึม
การวิเคราะห์อัลกอริทึมเป็นการหาปริมาณว่าเวลาทำงานและหน่วยความจำของอัลกอริทึมเพิ่มขึ้นอย่างไรเมื่อขนาดอินพุตเพิ่มขึ้น โดยให้คำศัพท์และเครื่องมือเชิงเส้นกำกับที่ใช้ในการเปรียบเทียบอัลกอริทึมและระบุปัญหาที่ยากโดยเนื้อแท้
Definition
การวิเคราะห์อัลกอริทึมคือการศึกษาทรัพยากรการคำนวณ — โดยหลักคือเวลาและพื้นที่ — ที่อัลกอริทึมใช้เป็นฟังก์ชันของขนาดอินพุต พร้อมด้วยเทคนิคที่ใช้ในการหา, แสดงออก, และเปรียบเทียบขอบเขตของทรัพยากรเหล่านี้
Scope
สาขานี้ครอบคลุมการวัดและเปรียบเทียบการใช้ทรัพยากรของอัลกอริทึม: สัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ (big-O, big-Omega, big-Theta), การแก้สมการเวียนบังเกิดที่เกิดจากอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำ, การวิเคราะห์แบบถัวเฉลี่ยของลำดับการดำเนินการ, และพื้นฐานของคลาสความซับซ้อนในการคำนวณและ NP-completeness ที่นำมาใช้กับการออกแบบอัลกอริทึม โดยจะกล่าวถึงต้นทุนกรณีที่เลวร้ายที่สุด กรณีเฉลี่ย และแบบถัวเฉลี่ย และความแตกต่างระหว่างปัญหาที่จัดการได้และจัดการไม่ได้ ทฤษฎีการคำนวณที่กว้างขึ้น (ความสามารถในการคำนวณ, คลาสความซับซ้อนเชิงรูปนัย) จัดอยู่ในสาขาย่อยที่แยกต่างหาก; ในที่นี้จะเน้นการวิเคราะห์อัลกอริทึมที่เป็นรูปธรรม
Sub-topics
Core questions
- การใช้ทรัพยากรของอัลกอริทึมแสดงออกอย่างไรโดยไม่ขึ้นกับรายละเอียดของเครื่องจักรและการนำไปใช้งาน?
- การวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุด กรณีเฉลี่ย และแบบถัวเฉลี่ย บอกอะไรเราบ้าง?
- สมการเวียนบังเกิดที่เกิดจากอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำถูกแก้หาขอบเขตเชิงเส้นกำกับได้อย่างไร?
- เราจะกำหนดขอบเขตล่างที่แสดงว่าไม่มีอัลกอริทึมใดทำได้ดีกว่าได้อย่างไร?
- การที่ปัญหาเป็น NP-complete หมายความว่าอย่างไร และเหตุใดจึงสำคัญต่อการออกแบบ?
Key concepts
- big-O, big-Omega, big-Theta
- การวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุดและกรณีเฉลี่ย
- ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด
- ทฤษฎีบทหลัก
- การวิเคราะห์แบบถัวเฉลี่ย
- ขอบเขตล่าง
- เวลาพหุนาม
- NP-completeness
Key theories
- สัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ
- Big-O, big-Omega และ big-Theta อธิบายอัตราการเติบโตของการใช้ทรัพยากรเมื่อขนาดอินพุตเพิ่มขึ้น โดยละเว้นค่าคงที่และพจน์อันดับต่ำกว่าเพื่อช่วยให้สามารถเปรียบเทียบอัลกอริทึมโดยไม่ขึ้นกับเครื่องจักรได้
- ความสามารถในการจัดการและ NP-completeness
- ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามถือว่าจัดการได้; ปัญหา NP-complete คือปัญหาที่ปัญหาทั้งหมดใน NP สามารถลดรูปไปได้ และการหาอัลกอริทึมพหุนามสำหรับปัญหาใดปัญหาหนึ่งจะสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดได้ ซึ่งเป็นคำถาม (P เทียบกับ NP) ที่ยังคงเปิดอยู่
Clinical relevance
การวิเคราะห์อัลกอริทึมเป็นแนวทางในการตัดสินใจทางวิศวกรรมทุกครั้งเกี่ยวกับการเลือกใช้อัลกอริทึมหรือโครงสร้างข้อมูล โดยคาดการณ์ว่าระบบจะปรับขนาดอย่างไรเมื่อข้อมูลเพิ่มขึ้น การตระหนักว่าปัญหาเป็น NP-hard จะบอกให้ผู้ปฏิบัติงานมองหาวิธีการประมาณค่า, ฮิวริสติก, หรือกรณีพิเศษ แทนที่จะเป็นอัลกอริทึมพหุนามที่แม่นยำ ซึ่งจะกำหนดรูปแบบการทำงานในการปรับให้เหมาะสม, การจัดตารางเวลา, และการประมวลผลขนาดใหญ่
History
สัญกรณ์เชิงเส้นกำกับถูกนำเข้ามาในวิทยาการคอมพิวเตอร์จากทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์และได้รับความนิยมโดย Donald Knuth ในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 ทฤษฎี NP-completeness ก่อตั้งโดย Stephen Cook (1971) และขยายโดย Richard Karp (1972) ซึ่งปรับเปลี่ยนการออกแบบอัลกอริทึมรอบขอบเขตระหว่างปัญหาที่จัดการได้และจัดการไม่ได้
Debates
- P เทียบกับ NP
- การที่ทุกปัญหาที่สามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างรวดเร็วสามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วด้วยหรือไม่ (P = NP) เป็นคำถามสำคัญที่ยังเปิดอยู่ของวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี; มีการคาดการณ์กันอย่างกว้างขวางว่า P ไม่เท่ากับ NP แต่ยังไม่มีข้อพิสูจน์
Key figures
- Donald Knuth
- Stephen Cook
- Richard Karp
- Robert Tarjan
Related topics
Seminal works
- cormen2009
- knuth1976bigo
- kleinberg2006
Frequently asked questions
- ความแตกต่างระหว่างการวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุดและการวิเคราะห์กรณีเฉลี่ยคืออะไร?
- การวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุดจะกำหนดขอบเขตการใช้ทรัพยากรสำหรับอินพุตที่ไม่เอื้ออำนวยที่สุดในแต่ละขนาด ซึ่งให้การรับประกัน การวิเคราะห์กรณีเฉลี่ยจะประมาณการใช้ทรัพยากรที่คาดหวังจากชุดอินพุต ซึ่งอาจเป็นตัวแทนของประสิทธิภาพโดยทั่วไปได้ดีกว่า แต่ขึ้นอยู่กับข้อสมมติฐานเกี่ยวกับการกระจายของอินพุต
- หากปัญหาเป็น NP-complete หมายความว่าหมดหวังที่จะแก้ไขหรือไม่?
- ไม่ ปัญหา NP-completeness หมายความว่ายังไม่พบอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับกรณีที่เลวร้ายที่สุด แต่บ่อยครั้งสามารถแก้ไขปัญหาได้ด้วยอัลกอริทึมประมาณค่า, ฮิวริสติก, อัลกอริทึมแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เร็วพอในทางปฏิบัติ หรือโดยการใช้ประโยชน์จากโครงสร้างพิเศษ มันบ่งบอกถึงการเปลี่ยนกลยุทธ์ ไม่ใช่ความเป็นไปไม่ได้