Recipročná mriežka a Brillouinove zóny

Recipročná mriežka je partnerom kryštálovej mriežky vo Fourierovom priestore a jej Wignerova-Seitzova bunka, prvá Brillouinova zóna, je arénou, v ktorej sa vyjadrujú difrakcia, elektrónové pásy a fonónové disperzie.

Definition

Recipročná mriežka je množina vlnových vektorov, ktorých rovinné vlny zdieľajú periodicitu danej Bravaisovej mriežky; prvá Brillouinova zóna je Wignerova-Seitzova primitívna bunka recipročnej mriežky a slúži ako základná doména pre kryštálový hybnosť.

Scope

Táto téma konštruuje recipročnú mriežku z priamej mriežky, spája vektory recipročnej mriežky s rodinami mriežkových rovín a Millerovými indexmi a buduje prvú Brillouinovu zónu ako Wignerovu-Seitzovu bunku recipročnej mriežky. Ukazuje, ako recipročná mriežka kóduje difrakčnú (Laueho) podmienku a poskytuje periodickú doménu pre kryštálový hybnosť používanú v celej pásovej teórii a mriežkovej dynamike. Dopĺňa klasifikáciu v reálnom priestore a difrakčné experimenty spracované v súvisiacich témach.

Core questions

• Ako je recipročná mriežka skonštruovaná z primitívnych vektorov priamej mriežky?
• Prečo vektory recipročnej mriežky zodpovedajú rodinám kryštálových rovín a Millerovým indexom?
• Čo je prvá Brillouinova zóna a prečo je prirodzenou doménou pre veličiny v k-priestore?
• Ako recipročná mriežka vyjadruje difrakčnú podmienku?

Key concepts

• Vektory recipročnej mriežky
• Millerove indexy a mriežkové roviny
• Prvá Brillouinova zóna a Wignerova-Seitzova bunka
• Kryštálový hybnosť a skladanie zón
• Laueho podmienka v recipročnom priestore

Clinical relevance

Recipročná mriežka a Brillouinova zóna sú nepostrádateľné pracovné nástroje: difrakčné obrazy sú mapami recipročnej mriežky, elektronické pásové štruktúry a fonónové disperzie sú vynesené cez Brillouinovu zónu a Fermiho plochy sú v nej definované.

History

Ewald zaviedol recipročnú mriežku ako účtovný nástroj pre difrakciu v roku 1913 a Brillouin definoval zóny, ktoré nesú jeho meno, v roku 1930 pri analýze šírenia elektrónov v periodických mriežkach, čím dal pásovej teórii jej štandardný geometrický jazyk.

Key figures

• Léon Brillouin
• Paul Peter Ewald
• Eugene Wigner

Seminal works

• ashcroft1976
• kittel2005

Frequently asked questions

Prečo vôbec zavádzať recipročnú mriežku?

Pretože periodická funkcia je prirodzene rozvinutá do rovinných vĺn, ktorých vlnové vektory sú vektormi recipročnej mriežky; práca v recipročnom priestore mení problémy v reálnom priestore podobné konvolúcii, ako je difrakcia a šírenie vĺn, na jednoduchú algebru.

Čo robí prvú Brillouinovu zónu špeciálnou?

Je to najmenšia oblasť recipročného priestoru, ktorá obsahuje každú fyzikálne odlišnú hodnotu kryštálového hybnosti; akýkoľvek vlnový vektor mimo nej sa líši od vlnového vektora vo vnútri o vektor recipročnej mriežky a je fyzikálne ekvivalentný.