Гильбертовы пространства

Гильбертово пространство — это полное пространство со скалярным произведением, бесконечномерное обобщение евклидовой геометрии, где понятия угла, ортогональности и проекции сохраняют свою полную силу.

Definition

Гильбертово пространство — это векторное пространство со скалярным произведением, которое является полным относительно нормы, индуцированной этим скалярным произведением; скалярное произведение обеспечивает геометрию длин и углов, что делает возможными ортогональную проекцию и ортонормированное разложение.

Scope

Эта тема охватывает скалярное произведение и индуцированную им норму, неравенство Коши-Шварца и тождество параллелограмма, ортогональность и ортогональные дополнения, теорему о проекции на замкнутые выпуклые множества, ортонормированные базисы и тождество Парсеваля, а также теорему Рисса о представлении, отождествляющую гильбертово пространство с его дуальным.

Core questions

• Как скалярное произведение наделяет бесконечномерное пространство геометрией?
• Почему каждое замкнутое выпуклое множество допускает единственную ближайшую точку, и что дает эта проекция?
• Как ортонормированные базисы представляют каждый вектор как обобщенный ряд Фурье?
• Почему гильбертово пространство естественным образом отождествляется со своим собственным дуальным пространством?

Key theories

Теорема о проекции

Каждое непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства содержит единственную точку, ближайшую к любому заданному вектору, а ортогональная проекция на замкнутое подпространство разбивает пространство на подпространство и его ортогональное дополнение.

Теорема Рисса о представлении

Каждый ограниченный линейный функционал на гильбертовом пространстве задается скалярным произведением с единственным вектором, поэтому пространство изометрически отождествляется со своим дуальным, что является источником многих аналитических удобств этого пространства.

Clinical relevance

Гильбертовы пространства являются пространствами состояний квантовой механики, где ортонормированное разложение и проекция выражают измерение и суперпозицию; они также лежат в основе аппроксимации методом наименьших квадратов, анализа Фурье и вейвлет-анализа, обработки сигналов и пространств с воспроизводящим ядром, центральных для современного машинного обучения.

History

Структура возникла из исследований Гильберта интегральных уравнений и бесконечных квадратичных форм в начале XX века; фон Нейман дал абстрактное аксиоматическое определение в 1920-х годах при формулировании квантовой механики, закрепив современное понятие гильбертова пространства.

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Frigyes Riesz

Seminal works

• conway1985
• stein2005real

Frequently asked questions

Чем гильбертово пространство отличается от банахова пространства?

Гильбертово пространство обладает скалярным произведением, которое индуцирует его норму и обеспечивает геометрию, углы, ортогональность и проекцию, тогда как общее банахово пространство имеет только норму; каждое гильбертово пространство является банаховым пространством, но не наоборот.

Что такое ортонормированный базис?

Это максимальный набор взаимно перпендикулярных единичных векторов, такой что каждый элемент пространства является суммой его проекций на них, обобщая способ разложения функций в ряды Фурье по синусам и косинусам.