Преобразование Фурье (прикладное)

Как интегральное преобразование, преобразование Фурье разлагает функцию на составляющие ее частоты и преобразует операции исчисления в алгебраические, что делает его основным методом прикладной математики.

Definition

Преобразование Фурье переводит функцию в функцию в частотной области, определяемую интегрированием с комплексными экспонентами; в прикладном использовании оно превращает свертку в умножение, а дифференцирование — в умножение на частоту, поэтому задачи решаются в области преобразования, а затем инвертируются.

Scope

Эта тема рассматривает преобразование Фурье как метод преобразования: его определение и обратное преобразование, операционные правила для сдвига, масштабирования и дифференцирования, теоремы о свертке и Парсеваля-Планшереля, дискретное и быстрое преобразования Фурье, а также его использование при решении дифференциальных уравнений и анализе сигналов и систем. Оно дополняет гармонический анализ того же преобразования.

Core questions

• Как преобразование сводит дифференциальную задачу или задачу свертки к алгебре?
• Какие операционные правила регулируют сдвиги, масштабирования и производные?
• Как эффективно вычислить преобразование по дискретным данным?
• Как считывается и манипулируется частотное содержимое в приложениях?

Key theories

Операционные правила и свойство дифференцирования

Дифференцирование становится умножением на частоту, а сдвиг — фазовым множителем, поэтому линейные дифференциальные уравнения и фильтры становятся алгебраическими соотношениями в частотной области.

Теорема о свертке

Преобразование свертки является произведением преобразований, что лежит в основе анализа линейных систем, фильтрации и методов решения с помощью функций Грина.

Дискретное и быстрое преобразование Фурье

Дискретизация приводит к дискретному преобразованию Фурье, которое алгоритм быстрого преобразования Фурье вычисляет за n log n операций, что обеспечивает практический цифровой частотный анализ.

Clinical relevance

Прикладные методы Фурье лежат в основе обработки сигналов и изображений, телекоммуникаций, анализа аудио и речи, оптики и кристаллографии, спектроскопии и спектральных методов для дифференциальных уравнений в частных производных, что делает это преобразование одним из наиболее широко используемых инструментов в науке и технике.

History

Фурье ввел частотное разложение в своей теории тепла 1822 года. Преобразование стало практическим инженерным инструментом благодаря операционному исчислению и, что особенно важно, благодаря быстрому преобразованию Фурье Кули-Тьюки 1965 года, которое сделало цифровой спектральный анализ повсеместным.

Key figures

• Joseph Fourier
• Ronald Bracewell
• James Cooley
• John Tukey

Seminal works

• folland1992
• bracewell2000

Frequently asked questions

Чем это отличается от преобразования Фурье в гармоническом анализе?

Это один и тот же математический объект, рассматриваемый по-разному: гармонический анализ акцентирует внимание на базовой теории и функциональных пространствах, в то время как эта тема прикладной математики подчеркивает преобразование как метод решения уравнений и анализа сигналов, включая дискретные и быстрые варианты.

Почему теорема о свертке так полезна в приложениях?

Многие физические системы воздействуют на входные данные путем свертки, которую неудобно вычислять напрямую. В частотной области свертка становится простым умножением, поэтому фильтрация и отклик системы вычисляются путем преобразования, умножения и обратного преобразования, часто с использованием быстрого преобразования Фурье.