Teoria de Sturm-Liouville

A teoria de Sturm-Liouville analisa uma classe de problemas de valor de contorno lineares de segunda ordem cujos autovalores são reais e discretos e cujas autofunções formam uma base ortogonal completa.

Definition

Um problema de Sturm-Liouville busca valores de um parâmetro para os quais a equação menos (p y linha) linha mais q y é igual a lambda w y tem uma solução não trivial satisfazendo dadas condições de contorno; os parâmetros admissíveis são os autovalores e as soluções correspondentes as autofunções.

Scope

Este tópico abrange a forma auto-adjunta de Sturm-Liouville, problemas regulares e singulares, a realidade e ordenação dos autovalores, a oscilação e o entrelaçamento das autofunções, a ortogonalidade em relação a um peso, e expansões de autofunções que generalizam as séries de Fourier e produzem os polinômios ortogonais clássicos e funções especiais.

Core questions

• Quais são os autovalores e autofunções de um dado problema de valor de contorno?
• Por que os autovalores são reais e as autofunções ortogonais?
• Quantos zeros a n-ésima autofunção possui e como eles estão distribuídos?
• Quando uma função arbitrária pode ser expandida nas autofunções?

Key theories

Teorema espectral para problemas regulares de Sturm-Liouville

Um problema regular auto-adjunto de Sturm-Liouville possui infinitos autovalores reais que aumentam para o infinito, com autofunções que são ortogonais sob o peso e formam uma base completa para expansões.

Teoremas de oscilação e comparação de Sturm

A autofunção pertencente ao n-ésimo autovalor possui exatamente n zeros interiores, e o teorema de comparação de Sturm relaciona os zeros das soluções de equações relacionadas.

Expansões de autofunções

Como as autofunções formam um sistema ortogonal completo, funções adequadas se expandem em séries nelas, generalizando as séries de Fourier e fundamentando a separação de variáveis para equações diferenciais parciais.

Clinical relevance

Problemas de Sturm-Liouville surgem sempre que o método de separação de variáveis é aplicado às equações do calor, da onda e de Schrödinger, e suas autofunções são os modos de vibração naturais e os estados quânticos; a teoria também gera os polinômios ortogonais clássicos usados em toda a matemática aplicada.

History

Sturm e Liouville desenvolveram a teoria em uma série de artigos por volta de 1836-1837, estabelecendo o comportamento qualitativo de autovalores e autofunções para problemas de valor de contorno. Weyl a estendeu para problemas singulares no início do século XX, conectando-a à teoria espectral de operadores em espaço de Hilbert.

Key figures

• Jacques Charles Francois Sturm
• Joseph Liouville
• Hermann Weyl
• David Hilbert

Seminal works

• zettl2010
• courant1953

Frequently asked questions

Como a teoria de Sturm-Liouville generaliza as séries de Fourier?

Os senos e cossenos de uma série de Fourier são as autofunções do problema mais simples de Sturm-Liouville em um intervalo. Coeficientes e pesos mais gerais produzem outras famílias ortogonais completas, como as funções de Legendre, Hermite e Bessel, com suas próprias expansões.

Por que os autovalores são garantidamente reais?

Quando escrito na forma auto-adjunta com condições de contorno apropriadas, o operador de Sturm-Liouville é simétrico em relação ao produto interno ponderado. Operadores simétricos possuem autovalores reais e autofunções ortogonais, assim como as matrizes simétricas.