Distribuição de Primos e o Teorema do Número Primo

O teorema do número primo torna precisa a intuição de que os primos se rarefazem logaritmicamente: a contagem de primos até um limite é assintótica a esse limite dividido pelo seu logaritmo natural.

Definition

O teorema do número primo afirma que o número de primos que não excedem x, denotado pi de x, é assintoticamente igual a x dividido pelo logaritmo natural de x, equivalentemente ao logaritmo integral de x.

Scope

Este tópico abrange a função de contagem de primos e suas assintóticas, os limites elementares de Chebyshev e as funções somatórias psi e teta, os teoremas de Mertens, a declaração e a prova analítica do teorema do número primo através do não-anulamento da função zeta na linha da parte real um, a aproximação logarítmico-integral, os termos de erro e sua conexão com a Hipótese de Riemann, e as lacunas de primos e as heurísticas de primos gêmeos.

Core questions

• Como os limites de Chebyshev e as estimativas de Mertens restringem a densidade de primos antes do teorema completo?
• Por que o teorema do número primo é equivalente à função zeta não ter zeros na linha onde a parte real é igual a um?
• Quão boa é a aproximação logarítmico-integral e como o termo de erro depende da Hipótese de Riemann?
• O que se sabe e se conjectura sobre as lacunas entre primos consecutivos, incluindo primos gêmeos?

Key theories

Teorema do número primo

Provado independentemente por Hadamard e de la Vallee Poussin em 1896, ele fornece a assintótica principal para a contagem de primos; a declaração equivalente para a função psi de Chebyshev é a forma analiticamente natural.

Regiões livres de zeros e termos de erro

O tamanho de uma região livre de zeros para zeta à esquerda da linha da parte real um controla o erro no teorema do número primo; a Hipótese de Riemann daria o erro ótimo do tipo raiz quadrada.

Lacunas de primos e a heurística de Cramer

As lacunas médias perto de x são aproximadamente o logaritmo de x; heurísticas probabilísticas preveem a distribuição de lacunas grandes e pequenas, e avanços em crivos provaram a existência de infinitas lacunas limitadas.

Clinical relevance

A densidade de primos dada pelo teorema informa aos criptógrafos quantos candidatos aleatórios devem ser testados para encontrar um primo de um determinado tamanho, governando diretamente a eficiência da geração de chaves RSA e Diffie-Hellman.

History

Gauss e Legendre conjecturaram a contagem assintótica de primos por volta de 1800. Chebyshev estabeleceu limites superiores e inferiores rigorosos na década de 1850, Riemann delineou a estratégia analítica em 1859, e Hadamard e de la Vallee Poussin completaram a prova em 1896. Selberg e Erdos posteriormente apresentaram uma prova elementar em 1949.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Pafnuty Chebyshev
• Jacques Hadamard
• Charles-Jean de la Vallee Poussin

Seminal works

• davenport2000

Frequently asked questions

O teorema do número primo permite prever o próximo primo?

Não. Ele descreve a densidade média de primos em longos intervalos; não determina a localização de nenhum primo individual, e os primos permanecem irregulares em pequenas escalas.

Como o teorema se relaciona com a Hipótese de Riemann?

O teorema em si é incondicional, mas a Hipótese de Riemann fixaria o menor erro possível na aproximação, controlando o quanto a contagem real de primos pode se desviar do logaritmo integral.