Problema de Kepler e Órbitas

O problema de Kepler é o movimento de um corpo sob uma força atrativa inversamente proporcional ao quadrado da distância, cujas soluções limitadas são as elipses que descrevem as órbitas planetárias.

Definition

O problema de Kepler é o problema da força central para uma força atrativa que varia com o inverso do quadrado da distância, cujas órbitas são seções cônicas com o centro de força em um foco e cujas órbitas limitadas obedecem às leis de Kepler.

Scope

Este tópico aborda a solução do problema da força central inversamente proporcional ao quadrado da distância: as órbitas de seção cônica (elipse, parábola, hipérbole) classificadas pela energia, as três leis de Kepler do movimento planetário, os elementos orbitais e o vetor especial conservado de Laplace-Runge-Lenz, responsável pelo fechamento e não precessão das órbitas limitadas em um campo puramente inversamente proporcional ao quadrado da distância.

Core questions

• Por que a força inversamente proporcional ao quadrado da distância produz órbitas de seção cônica classificadas pela energia?
• O que as três leis de Kepler afirmam e como elas decorrem da lei da força?
• O que há de especial na força inversamente proporcional ao quadrado da distância que mantém as órbitas limitadas fechadas?

Key concepts

• Força inversamente proporcional ao quadrado da distância
• Órbitas de seção cônica
• Três leis de Kepler
• Elementos orbitais (excentricidade, semieixo maior)
• Vetor de Laplace-Runge-Lenz
• Energia orbital e classificação limitada/ilimitada

Key theories

Órbitas de seção cônica e leis de Kepler

O movimento limitado em uma atração inversamente proporcional ao quadrado da distância é uma elipse com o centro de força em um foco, varrendo áreas iguais em tempos iguais, com o quadrado do período orbital proporcional ao cubo do semieixo maior.

Vetor de Laplace-Runge-Lenz

A força inversamente proporcional ao quadrado da distância possui um vetor conservado extra que aponta ao longo do eixo maior da órbita, explicando por que as órbitas de Kepler limitadas são exatamente fechadas e não precessam.

Clinical relevance

A solução de Kepler é a espinha dorsal da mecânica orbital para planetas, luas, cometas e satélites artificiais, sustentando o projeto de missões, a determinação de órbitas e as manobras de transferência, enquanto pequenos desvios do comportamento puramente inversamente proporcional ao quadrado da distância forneceram os primeiros testes da relatividade geral.

History

Kepler deduziu suas três leis empíricas do movimento planetário a partir das observações de Tycho Brahe no início do século XVII, e Newton mostrou em 1687, no Principia, que elas decorrem de uma lei do inverso do quadrado da distância da gravitação universal. O vetor conservado adicional agora associado a Laplace, Runge e Lenz explicou a degenerescência especial que mantém as órbitas de Kepler fechadas.

Key figures

• Johannes Kepler
• Isaac Newton
• Pierre-Simon Laplace

Seminal works

• newton1687
• taylor2005

Frequently asked questions

Por que as órbitas planetárias são elipses em vez de outras formas?

O movimento limitado sob uma força atrativa inversamente proporcional ao quadrado da distância sempre traça uma seção cônica, e o caso limitado é especificamente uma elipse com o corpo atraente em um dos focos, exatamente como Kepler observou.

Por que as órbitas planetárias reais precessam ligeiramente?

Uma força puramente inversamente proporcional ao quadrado da distância produz órbitas perfeitamente fechadas, mas perturbações de outros planetas e correções relativísticas quebram essa simetria especial, fazendo com que o eixo da órbita gire lentamente.