Homomorfisme Gelanggang

Homomorfisme gelanggang adalah pemetaan yang mempertahankan struktur antar gelanggang, morfisme teori gelanggang yang kernelnya adalah ideal dan citranya adalah subgelanggang, diatur oleh teorema isomorfisme.

Definition

Homomorfisme gelanggang adalah fungsi antar gelanggang yang mempertahankan penjumlahan, perkalian, dan (menurut konvensi) identitas perkalian, sehingga operasi aljabar dihormati.

Scope

Topik ini mencakup definisi homomorfisme dan isomorfisme gelanggang, kernel dan citra, empat teorema isomorfisme untuk gelanggang, karakteristik dan subgelanggang prima, serta sifat universal gelanggang hasil bagi dan peta evaluasi.

Core questions

• Apa artinya suatu peta mempertahankan struktur gelanggang?
• Bagaimana kernel dan citra homomorfisme berhubungan dengan ideal dan subgelanggang?
• Bagaimana teorema isomorfisme memfaktorkan homomorfisme melalui hasil bagi?
• Bagaimana peta evaluasi dan reduksi muncul sebagai homomorfisme gelanggang?

Key theories

Teorema isomorfisme pertama untuk gelanggang

Setiap homomorfisme gelanggang memfaktorkan sebagai surjeksi ke citranya diikuti oleh inklusi, dan citranya isomorfik terhadap hasil bagi domain oleh kernelnya, yang merupakan ideal.

Teorema korespondensi dan isomorfisme

Pembagian oleh suatu ideal membentuk bijeksi antara ideal yang mengandungnya dan ideal dari hasil bagi, dan teorema isomorfisme kedua, ketiga, dan keempat menjelaskan bagaimana subgelanggang, ideal, dan hasil bagi berinteraksi di bawah homomorfisme.

Sifat universal hasil bagi

Homomorfisme yang kernelnya mengandung ideal tertentu memfaktorkan secara unik melalui hasil bagi oleh ideal tersebut, sehingga gelanggang hasil bagi bersifat universal di antara citra homomorfik yang menghilangkan ideal.

Clinical relevance

Homomorfisme gelanggang memformalkan operasi dasar aljabar: reduksi modulo bilangan bulat atau polinomial, evaluasi polinomial, dan inklusi gelanggang ke dalam gelanggang yang lebih besar semuanya adalah homomorfisme. Homomorfisme menjadikan gelanggang sebagai kategori dan merupakan peta di mana struktur dan komputasi berpindah dalam teori bilangan dan geometri aljabar.

History

Teorema homomorfisme dan isomorfisme diabstraksi dari teori grup ke gelanggang sebagai bagian dari program aljabar struktural Emmy Noether pada tahun 1920-an, menyatukan konstruksi yang sebelumnya diperlakukan kasus per kasus dalam teori bilangan dan teori persamaan.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

Mengapa kernel homomorfisme gelanggang harus berupa ideal?

Kernel tertutup di bawah penjumlahan dan, karena peta mengirimkan hasil kali ke hasil kali dan citra elemen kernel adalah nol, ia menyerap perkalian dengan elemen gelanggang apa pun. Sifat penyerapan itu persis definisi ideal.

Apa contoh homomorfisme gelanggang dalam aljabar sehari-hari?

Reduksi bilangan bulat modulo n, evaluasi polinomial pada bilangan tetap, dan konjugasi kompleks semuanya adalah homomorfisme gelanggang. Masing-masing mempertahankan jumlah dan hasil kali, dan teorema isomorfisme menjelaskan citranya sebagai gelanggang hasil bagi.