Medan Bilangan dan Gelanggang Bilangan Bulat

Medan bilangan adalah perluasan hingga dari bilangan rasional, dan gelanggang bilangan bulatnya adalah analogi aritmetika alami dari bilangan bulat biasa — suatu domain Dedekind di mana ideal, bukan elemen, terfaktorisasi secara unik.

Definition

Medan bilangan adalah perluasan medan berderajat hingga dari bilangan rasional; gelanggang bilangan bulatnya terdiri dari elemen-elemen yang merupakan akar dari polinomial monik dengan koefisien bilangan bulat, membentuk domain Dedekind.

Scope

Topik ini mencakup bilangan aljabar dan bilangan bulat aljabar, medan bilangan serta derajat dan penyisipannya (embedding), gelanggang bilangan bulat sebagai penutup integral dari bilangan bulat dalam medan, basis integral dan diskriminan medan, karakterisasi gelanggang bilangan bulat sebagai domain Dedekind, dan faktorisasi unik ideal tak-nol menjadi ideal prima.

Core questions

• Elemen mana dari medan bilangan yang dianggap sebagai bilangan bulat, dan mengapa elemen-elemen tersebut membentuk gelanggang?
• Apa itu basis integral, dan bagaimana diskriminan medan bilangan didefinisikan dan dihitung?
• Sifat-sifat apa yang menjadikan gelanggang bilangan bulat sebagai domain Dedekind?
• Bagaimana faktorisasi unik ideal menggantikan faktorisasi unik elemen?

Key theories

Gelanggang bilangan bulat dan penutup integral

Bilangan bulat aljabar dalam medan bilangan membentuk gelanggang bilangan bulatnya, penutup integral dari bilangan bulat dalam medan; ini adalah modul bebas dengan rank yang sama dengan derajat medan, dengan basis integral.

Domain Dedekind dan faktorisasi ideal

Gelanggang bilangan bulat bersifat Noetherian, tertutup secara integral, berdimensi satu — yaitu, domain Dedekind — dan dalam setiap domain Dedekind, setiap ideal tak-nol terfaktorisasi secara unik menjadi ideal prima.

Diskriminan

Diskriminan dari basis integral adalah invarian bilangan bulat dari medan yang mendeteksi bilangan prima yang bercabang dan membatasi medan melalui batas Minkowski dan teorema keterbatasan Hermite.

Clinical relevance

Gelanggang bilangan bulat dan struktur idealnya adalah latar untuk algoritma faktorisasi saringan medan bilangan dan untuk kriptografi kisi-ideal, di mana aritmetika gelanggang bilangan bulat menjadi sumber masalah sulit dan operasi efisien.

History

Kummer bekerja dengan bilangan bulat siklotomik dan bilangan ideal pada tahun 1840-an. Dedekind, dalam suplemen kuliah Dirichlet dari tahun 1870-an, mendefinisikan gelanggang bilangan bulat dan gagasan modern tentang ideal, membuktikan faktorisasi unik ideal dan mendirikan teori abstrak.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

Apakah gelanggang bilangan bulat selalu merupakan domain faktorisasi unik?

Tidak. Elemen tidak harus terfaktorisasi secara unik, tetapi gelanggang selalu merupakan domain Dedekind, sehingga ideal terfaktorisasi secara unik; gelanggang adalah domain faktorisasi unik tepat ketika bilangan kelasnya adalah satu.

Apa yang ditunjukkan oleh diskriminan?

Diskriminan medan adalah invarian bilangan bulat yang pembagi primanya adalah tepat bilangan prima yang bercabang dalam medan, dan ukurannya membatasi seberapa rumit medan tersebut.