Persamaan Linear dan Pell

Persamaan Diophantine linear diselesaikan sepenuhnya dengan algoritma Euclidean, sementara persamaan Pell, yang mencari solusi bilangan bulat dari x kuadrat dikurangi d y kuadrat sama dengan satu, mengungkapkan struktur mendalam dari medan kuadratik riil melalui pecahan berlanjut.

Definition

Persamaan Diophantine linear mencari solusi bilangan bulat dari persamaan linear dengan koefisien bilangan bulat; persamaan Pell adalah persamaan Diophantine kuadratik x kuadrat dikurangi d y kuadrat sama dengan satu untuk bilangan bulat positif d yang bukan kuadrat sempurna, yang solusinya membentuk keluarga tak terbatas yang dihasilkan secara terbatas.

Scope

Topik ini mencakup persamaan Diophantine linear dalam dua atau lebih variabel dan solusi lengkapnya melalui pembagi persekutuan terbesar dan identitas Bezout, persamaan Pell serta bentuk negatif dan umumannya, ekspansi pecahan berlanjut dari irasional kuadratik, solusi fundamental dan bagaimana semua solusi dihasilkan darinya, serta hubungan dengan unit dan unit fundamental dari medan kuadratik riil.

Core questions

• Kapan persamaan Diophantine linear memiliki solusi bilangan bulat, dan bagaimana himpunan solusi lengkapnya dijelaskan?
• Mengapa persamaan Pell selalu memiliki solusi nontrivial untuk d yang bukan kuadrat sempurna?
• Bagaimana ekspansi pecahan berlanjut dari akar kuadrat d menghasilkan solusi fundamental?
• Bagaimana semua solusi Pell dihasilkan dari solusi fundamental, dan bagaimana ini berhubungan dengan unit medan kuadratik?

Key theories

Keterpecahan persamaan Diophantine linear

Persamaan a x ditambah b y sama dengan c memiliki solusi bilangan bulat tepat ketika pembagi persekutuan terbesar dari a dan b membagi c, dan identitas Bezout kemudian memberikan solusi partikular dan keluarga satu-parameter lengkap.

Keberadaan dan struktur solusi Pell

Untuk d yang bukan kuadrat sempurna, persamaan Pell memiliki solusi tak terbatas; solusi fundamental ada, dan semua solusi lainnya diperoleh dengan mengambil pangkat dari unit yang sesuai dalam medan kuadratik riil.

Pecahan berlanjut dan irasional kuadratik

Ekspansi pecahan berlanjut dari akar kuadrat d pada akhirnya bersifat periodik, dan konvergennya menghasilkan solusi fundamental Pell, mengaitkan keterpecahan Diophantine dengan aproksimasi Diophantine.

Clinical relevance

Persamaan tipe Pell dan pecahan berlanjut muncul dalam algoritma untuk menghitung unit fundamental dan regulator medan kuadratik serta dalam mengaproksimasi rasio irasional, dengan penggunaan praktis dalam desain kalender, rasio roda gigi, dan reduksi kisi.

History

Matematikawan India, terutama Brahmagupta pada abad ketujuh dan Bhaskara II dengan metode chakravala, menyelesaikan persamaan Pell berabad-abad sebelum Eropa. Fermat mengajukannya sebagai tantangan, dan Lagrange memberikan bukti lengkap Eropa pertama pada tahun 1768; nama Pell adalah kesalahan atribusi historis oleh Euler.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

Mengapa disebut persamaan Pell?

Karena kesalahan historis: Euler mengaitkan persamaan tersebut dengan John Pell, meskipun Pell hanya sedikit mengerjakan persamaan tersebut; kemajuan awal yang substansial dibuat oleh matematikawan India serta oleh Fermat dan Lagrange.

Bagaimana cara menemukan solusi Pell?

Ekspansikan akar kuadrat d sebagai pecahan berlanjut; konvergen periodiknya menghasilkan solusi fundamental, dari mana setiap solusi lainnya dihasilkan melalui komposisi berulang.