Bujur Sangkar Latin dan Geometri Hingga

Bujur sangkar Latin adalah susunan persegi yang setiap simbolnya muncul sekali per baris dan kolom, dan geometri hingga adalah sistem insiden yang sangat terstruktur pada sejumlah titik dan garis yang terbatas.

Definition

Bujur sangkar Latin berorde n adalah susunan n kali n yang diisi dengan n simbol sehingga setiap simbol muncul tepat satu kali di setiap baris dan setiap kolom; bidang proyektif hingga adalah struktur insiden titik dan garis di mana setiap dua titik terletak pada satu garis unik dan setiap dua garis bertemu pada satu titik unik.

Scope

Topik ini membahas bujur sangkar Latin dan bujur sangkar Latin ortogonal timbal balik, kesetaraannya dengan jaring dan desain transversal, serta bidang proyektif dan afin hingga yang dibangun dari medan hingga. Ini mencakup konjektur klasik Euler tentang bujur sangkar ortogonal dan hubungan mendalam antara bujur sangkar Latin ortogonal timbal balik dan bidang proyektif hingga.

Core questions

• Berapa banyak bujur sangkar Latin ortogonal timbal balik dari orde tertentu yang dapat ada?
• Untuk orde berapa set lengkap bujur sangkar ortogonal, dan karenanya bidang proyektif, ada?
• Bagaimana medan hingga membangun bidang dan bujur sangkar ortogonal?
• Aksioma insiden apa yang mendefinisikan geometri afin dan proyektif pada himpunan hingga?

Key concepts

• Bujur sangkar Latin
• Bujur sangkar Latin ortogonal timbal balik
• Desain transversal dan jaring
• Bidang proyektif hingga
• Bidang afin
• Medan Galois (hingga)

Key theories

MOLS dan bidang proyektif

Satu set lengkap n-1 bujur sangkar Latin ortogonal timbal balik berorde n ada jika dan hanya jika bidang proyektif hingga berorde n ada, yang mengaitkan kombinatorika bujur sangkar Latin dengan geometri hingga.

Penyanggahan konjektur Euler

Euler menduga tidak ada pasangan bujur sangkar Latin ortogonal yang ada untuk orde yang kongruen dengan 2 modulo 4; Bose, Shrikhande, dan Parker menyanggah ini pada tahun 1960 untuk semua orde tersebut kecuali 2 dan 6.

Clinical relevance

Bujur sangkar Latin menyediakan desain eksperimen baris-kolom yang mengontrol dua sumber variasi secara bersamaan, susunan ortogonal mendukung eksperimen faktorial dan pengujian perangkat lunak, dan geometri hingga menghasilkan kode dan desain.

History

Euler mempelajari bujur sangkar Latin ortogonal pada tahun 1782 melalui masalah tiga puluh enam perwiranya; konjekturnya bertahan hingga penyanggahan tahun 1960 oleh Bose, Shrikhande, dan Parker, yang disebut sebagai perusak Euler.

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

Apa artinya dua bujur sangkar Latin ortogonal?

Ketika kedua bujur sangkar ditumpangkan, setiap pasangan simbol yang berurutan muncul tepat satu kali, sehingga bujur sangkar tersebut secara bersama-sama membedakan setiap sel kisi.

Apakah kisi Sudoku adalah bujur sangkar Latin?

Sudoku yang telah selesai adalah bujur sangkar Latin berorde sembilan dengan batasan tambahan bahwa setiap kotak tiga kali tiga juga berisi setiap simbol sekali.