Invarian Simpul

Invarian simpul adalah kuantitas yang tidak berubah ketika suatu simpul dideformasi, menyediakan alat untuk membuktikan bahwa dua simpul benar-benar berbeda.

Definition

Invarian simpul adalah fungsi pada simpul yang mengambil nilai yang sama pada simpul yang setara, sehingga nilai yang berbeda menyatakan bahwa dua simpul tidak isotop-ambien; secara ekuivalen, itu adalah kuantitas apa pun yang dipertahankan di bawah tiga gerakan Reidemeister.

Scope

Topik ini mencakup prinsip bahwa setiap kuantitas yang tidak berubah di bawah gerakan Reidemeister adalah invarian simpul, dan meninjau invarian klasik: grup simpul (grup fundamental dari komplemen), permukaan Seifert dan genus Seifert, bilangan persilangan, bilangan penguraian simpul, bilangan jembatan, dan tricolorability. Ini membahas matriks Seifert dan tanda tangan, keterbatasan invarian individual, dan peran invarian dalam mendeteksi kiralitas dan membedakan simpul yang terlihat serupa secara dangkal.

Core questions

• Bagaimana gerakan Reidemeister mengurangi pertanyaan invarian menjadi kondisi yang terbatas dan dapat diperiksa?
• Invarian geometris dan aljabar apa — grup simpul, genus, tanda tangan — yang menangkap fitur-fitur berbeda dari suatu simpul?
• Mengapa suatu invarian dapat membedakan beberapa simpul tetapi gagal memisahkan yang lain?
• Bagaimana invarian mendeteksi sifat-sifat seperti kiralitas dan bilangan penguraian simpul?

Key concepts

• Gerakan Reidemeister dan invarian
• Grup simpul dan komplemen simpul
• Permukaan Seifert, genus Seifert, dan matriks Seifert
• Bilangan persilangan, penguraian simpul, dan jembatan
• Tanda tangan dan tricolorability

Clinical relevance

Invarian simpul adalah apa yang membuat teori simpul dapat diterapkan: mereka membedakan topoisomer DNA dalam biologi molekuler dan menyediakan hambatan yang digunakan dalam mengklasifikasikan tiga-manifold melalui operasi pada simpul dan tautan.

History

Reidemeister membuktikan pada tahun 1927 bahwa ketiga gerakannya menghasilkan kesetaraan simpul, mengurangi invarian menjadi pemeriksaan lokal; konstruksi permukaan rentang Seifert (1934) memberikan genus dan tanda tangan, dan invarian klasik ini membentuk tulang punggung subjek sebelum era polinomial.

Key figures

• Kurt Reidemeister
• Herbert Seifert
• Dale Rolfsen

Seminal works

• lickorish1997
• rolfsen1976

Frequently asked questions

Mengapa gerakan Reidemeister begitu penting?

Reidemeister membuktikan bahwa dua diagram merepresentasikan simpul yang sama persis ketika salah satunya dapat diperoleh dari yang lain melalui tiga gerakan lokal ini, sehingga memeriksa bahwa suatu kuantitas tidak berubah olehnya membuktikan bahwa itu adalah invarian yang asli.

Apa itu genus Seifert dari suatu simpul?

Ini adalah genus terkecil di antara semua permukaan yang dapat diorientasikan di ruang yang batasnya adalah simpul; ini adalah invarian yang mengukur kompleksitas simpul dan bersifat aditif di bawah penjumlahan terhubung.