Carrés latins et géométries finies

Un carré latin est un tableau carré dans lequel chaque symbole apparaît une fois par ligne et par colonne, et les géométries finies sont des systèmes d'incidence hautement structurés sur un nombre fini de points et de droites.

Definition

Un carré latin d'ordre n est un tableau n × n rempli de n symboles de telle sorte que chaque symbole apparaisse exactement une fois dans chaque ligne et chaque colonne ; un plan projectif fini est une structure d'incidence de points et de droites dans laquelle deux points quelconques sont situés sur une unique droite et deux droites quelconques se rencontrent en un unique point.

Scope

Ce sujet traite des carrés latins et des carrés latins mutuellement orthogonaux, de leur équivalence avec les réseaux (nets) et les plans transversaux (transversal designs), ainsi que des plans projectifs et affines finis construits à partir de corps finis. Il aborde la conjecture classique d'Euler sur les carrés orthogonaux et le lien profond entre les carrés latins mutuellement orthogonaux et les plans projectifs finis.

Core questions

• Combien de carrés latins mutuellement orthogonaux d'un ordre donné peuvent exister ?
• Pour quels ordres existe-t-il des ensembles complets de carrés orthogonaux, et par conséquent des plans projectifs ?
• Comment les corps finis construisent-ils des plans et des carrés orthogonaux ?
• Quels axiomes d'incidence définissent les géométries affines et projectives sur des ensembles finis ?

Key concepts

• Carré latin
• Carrés latins mutuellement orthogonaux
• Plans transversaux et réseaux
• Plan projectif fini
• Plan affine
• Corps de Galois (finis)

Key theories

MOLS et plans projectifs

Un ensemble complet de n-1 carrés latins mutuellement orthogonaux d'ordre n existe si et seulement si un plan projectif fini d'ordre n existe, reliant ainsi la combinatoire des carrés latins à la géométrie finie.

Réfutation de la conjecture d'Euler

Euler a conjecturé qu'aucune paire de carrés latins orthogonaux n'existe pour les ordres congrus à 2 modulo 4 ; Bose, Shrikhande et Parker ont réfuté cela en 1960 pour tous ces ordres, à l'exception de 2 et 6.

Clinical relevance

Les carrés latins offrent des plans expérimentaux en lignes-colonnes qui permettent de contrôler simultanément deux sources de variation, les tableaux orthogonaux (orthogonal arrays) soutiennent les expériences factorielles et les tests logiciels, et les géométries finies génèrent des codes et des plans.

History

Euler a étudié les carrés latins orthogonaux en 1782 à travers son problème des trente-six officiers ; sa conjecture a subsisté jusqu'à sa réfutation en 1960 par Bose, Shrikhande et Parker, les soi-disant « Euler spoilers ».

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

Que signifie l'orthogonalité de deux carrés latins ?

Lorsque les deux carrés sont superposés, chaque paire ordonnée de symboles apparaît exactement une fois, de sorte que les carrés distinguent conjointement chaque cellule de la grille.

Une grille de Sudoku est-elle un carré latin ?

Un Sudoku complété est un carré latin d'ordre neuf avec la contrainte supplémentaire que chaque bloc de trois par trois contient également chaque symbole une fois.