Connexité

La connexité saisit l'idée qu'un espace est d'un seul tenant — il ne peut être scindé en deux parties ouvertes non vides et disjointes — et constitue la raison topologique pour laquelle le théorème des valeurs intermédiaires est vérifié.

Definition

Un espace topologique est connexe s'il ne peut être écrit comme l'union de deux ensembles ouverts non vides et disjoints ; il est connexe par arcs si deux quelconques de ses points sont reliés par un chemin continu.

Scope

Ce sujet définit la connexité et la notion connexe et plus forte de connexité par arcs, ainsi que leurs versions locales (connexité locale, connexité locale par arcs). Il aborde les composantes connexes et les composantes connexes par arcs, le comportement de la connexité sous les images continues, les produits et les unions, et les exemples standards de séparation, tels que la courbe sinus du topologue, où la connexité et la connexité par arcs divergent. La généralisation du théorème des valeurs intermédiaires aux espaces connexes est incluse.

Core questions

• Quelle est la différence précise entre la connexité et la connexité par arcs, et quand coïncident-elles ?
• Comment les composantes connexes partitionnent-elles un espace arbitraire, et pourquoi sont-elles fermées ?
• Pourquoi l'image continue d'un espace connexe est-elle connexe, et comment cela généralise-t-il le théorème des valeurs intermédiaires ?
• Comment la connexité locale et la connexité locale par arcs contrôlent-elles la structure des composantes ?

Key concepts

• Espaces connexes et non connexes
• Connexité par arcs et composantes connexes par arcs
• Composantes connexes et quasi-composantes
• Connexité locale et connexité locale par arcs
• Théorème des valeurs intermédiaires comme énoncé de connexité

Clinical relevance

La connexité est le fondement du comptage des composantes d'un espace et est l'ombre de degré zéro de l'homotopie et de l'homologie ; la connexité par arcs est le prérequis pour un groupe fondamental bien défini, reliant la topologie générale à la topologie algébrique.

History

L'idée intuitive qu'un espace est d'un seul tenant a été précisée au début du XXe siècle, parallèlement à l'axiomatisation des espaces topologiques ; la séparation minutieuse de la connexité de la connexité par arcs, illustrée par des exemples comme la courbe sinus du topologue, est devenue une partie standard du programme d'étude de la topologie générale.

Key figures

• Camille Jordan
• Felix Hausdorff
• James Munkres

Seminal works

• munkres2000
• kelley1955

Frequently asked questions

La connexité implique-t-elle la connexité par arcs ?

Non. La courbe sinus du topologue est connexe mais non connexe par arcs. La réciproque est vraie : tout espace connexe par arcs est connexe.

Quand les composantes connexes et les composantes connexes par arcs sont-elles identiques ?

Dans un espace localement connexe par arcs, les composantes connexes et les composantes connexes par arcs coïncident et sont ouvertes, ce qui explique pourquoi les variétés et les sous-ensembles ouverts de l'espace euclidien se comportent de manière si simple.