Resiprokkihila ja Brillouinin vyöhykkeet

Resiprokkihila on kidehilan Fourier-avaruuden vastine, ja sen Wigner-Seitz-koppi, ensimmäinen Brillouinin vyöhyke, on areena, jossa diffraktio, elektronivyöt ja fononidispersiot ilmaistaan.

Definition

Resiprokkihila on aaltovektoreiden joukko, joiden tasoaalloilla on annetun Bravais-hilan jaksollisuus; ensimmäinen Brillouinin vyöhyke on resiprokkihilan Wigner-Seitzin primitiivinen koppi ja toimii kideimpulssin perusalueena.

Scope

Tämä aihepiiri rakentaa resiprokkihilan suorasta hilasta, yhdistää resiprokkihilavektorit hilatasojen perheisiin ja Millerin indekseihin sekä rakentaa ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen resiprokkihilan Wigner-Seitz-koppina. Se osoittaa, kuinka resiprokkihila koodaa diffraktio-(Laue)-ehdon ja tarjoaa jaksollisen alueen kideimpulssille, jota käytetään koko vyöhyketeoriassa ja hila-dynamiikassa. Se täydentää reaaliavaruuden luokittelua ja diffraktio-kokeita, joita käsitellään rinnakkaisissa aiheissa.

Core questions

• Miten resiprokkihila rakennetaan suoran hilan primitiivisistä vektoreista?
• Miksi resiprokkihilavektorit vastaavat kidepintojen perheitä ja Millerin indeksejä?
• Mikä on ensimmäinen Brillouinin vyöhyke, ja miksi se on luonnollinen alue k-avaruuden suureille?
• Miten resiprokkihila ilmaisee diffraktioehdon?

Key concepts

• Resiprokkihilavektorit
• Millerin indeksit ja hilatasot
• Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke ja Wigner-Seitz-koppi
• Kideimpulssi ja vyöhyketaittuminen
• Lauen ehto resiprokkiavaruudessa

Clinical relevance

Resiprokkihila ja Brillouinin vyöhyke ovat välttämättömiä työvälineitä: diffraktiokuviot ovat resiprokkihilan karttoja, elektroniset vyöhykerakenteet ja fononidispersiot piirretään Brillouinin vyöhykkeen poikki, ja Fermin pinnat määritellään sen sisällä.

History

Ewald esitteli resiprokkihilan kirjanpitovälineenä diffraktiolle vuonna 1913, ja Brillouin määritteli nimeään kantavat vyöhykkeet vuonna 1930 analysoidessaan elektronien etenemistä jaksollisissa hiloissa, antaen vyöhyketeorialle sen standardin geometrisen kielen.

Key figures

• Léon Brillouin
• Paul Peter Ewald
• Eugene Wigner

Seminal works

• ashcroft1976
• kittel2005

Frequently asked questions

Miksi resiprokkihila ylipäätään esitellään?

Koska jaksollinen funktio laajenee luonnollisesti tasoaalloiksi, joiden aaltovektorit ovat resiprokkihilavektoreita; työskentely resiprokkiavaruudessa muuttaa konvoluution kaltaiset reaaliavaruuden ongelmat, kuten diffraktion ja aaltojen etenemisen, yksinkertaiseksi algebralliseksi laskennaksi.

Mikä tekee ensimmäisestä Brillouinin vyöhykkeestä erityisen?

Se on pienin resiprokkiavaruuden alue, joka sisältää kaikki fysikaalisesti erilliset kideimpulssin arvot; mikä tahansa sen ulkopuolinen aaltovektori eroaa sisäpuolisesta resiprokkihilavektorin verran ja on fysikaalisesti ekvivalentti.