Lukukentät ja kokonaislukurenkaat

Lukukenttä on rationaalilukujen äärellinen laajennus, ja sen kokonaislukurengas on tavallisten kokonaislukujen luonnollinen aritmeettinen vastine – Dedekindin veräjä, jossa ideaalit, eivät alkiot, jakautuvat yksikäsitteisesti.

Definition

Lukukenttä on rationaalilukujen äärellisasteinen kenttälaajennus; sen kokonaislukurengas koostuu alkioista, jotka ovat kokonaislukukertoimisten monisten polynomien juuria, muodostaen Dedekindin veräjän.

Scope

Tämä aihe kattaa algebralliset luvut ja algebralliset kokonaisluvut, lukukentät ja niiden asteen ja upotukset, kokonaislukurenkaan kokonaislukujen integraalisena sulkeumana kentässä, integraalikannat ja kentän diskriminantin, kokonaislukurenkaiden karakterisoinnin Dedekindin veräjinä ja nollasta poikkeavien ideaalien yksikäsitteisen jaon alkuaaleiksi.

Core questions

• Mitkä lukukentän alkiot lasketaan kokonaisluvuiksi, ja miksi ne muodostavat renkaan?
• Mikä on integraalikanta, ja miten lukukentän diskriminantti määritellään ja lasketaan?
• Mitkä ominaisuudet tekevät kokonaislukurenkaasta Dedekindin veräjän?
• Miten ideaalien yksikäsitteinen jako korvaa alkioiden yksikäsitteisen jaon?

Key theories

Kokonaislukurengas ja integraalinen sulkeuma

Lukukentän algebralliset kokonaisluvut muodostavat sen kokonaislukurenkaan, kokonaislukujen integraalisen sulkeuman kentässä; se on vapaa moduuli, jonka kanta on kentän asteen suuruinen ja jolla on integraalikanta.

Dedekindin veräjät ja ideaalien jako

Kokonaislukurenkaat ovat Noetherin renkaita, integraalisesti suljettuja, ulottuvuudeltaan yksi – eli Dedekindin veräjiä – ja jokaisessa Dedekindin veräjässä jokainen nollasta poikkeava ideaali jakautuu yksikäsitteisesti alkuaaleiksi.

Diskriminantti

Integraalikannan diskriminantti on kentän kokonaislukuinen invariantti, joka havaitsee haarautuneet alkuluvut ja rajoittaa kenttää Minkowskin rajan ja Hermiten äärellisyyslauseen kautta.

Clinical relevance

Kokonaislukurenkaat ja niiden ideaalirakenne ovat pohjana lukukenttäseulan faktorointialgoritmille ja ideaalihila-kryptografialle, jossa kokonaislukurenkaan aritmetiikka on sekä vaikeiden ongelmien että tehokkaiden operaatioiden lähde.

History

Kummer työskenteli syklotomisten kokonaislukujen ja ideaalilukujen parissa 1840-luvulla. Dedekind määritteli kokonaislukurenkaan ja modernin ideaalin käsitteen Dirichlet'n luentojen lisäyksissä 1870-luvulta, todistaen ideaalien yksikäsitteisen jaon ja perustaen abstraktin teorian.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

Onko kokonaislukurengas aina yksikäsitteisen jaon alue?

Ei. Alkiot eivät välttämättä jakaudu yksikäsitteisesti, mutta rengas on aina Dedekindin veräjä, joten ideaalit jakautuvat; rengas on yksikäsitteisen jaon alue täsmälleen silloin, kun sen luokkaluku on yksi.

Mitä diskriminantti kertoo?

Kentän diskriminantti on kokonaislukuinen invariantti, jonka alkutekijät ovat täsmälleen ne alkuluvut, jotka haarautuvat kentässä, ja sen koko rajoittaa, kuinka monimutkainen kenttä voi olla.