حلکنندههای میدان با روش اجزای محدود و شبکهای
حل معادلات میدان کلاسیک بر روی هندسههای پیچیده به معنای مشبندی فضا به عناصر یا سلولهای شبکهای و حل معادلات گسستهشده است؛ روشی که اساس الکترومغناطیس محاسباتی، مکانیک سازه و فیزیک پیوسته را تشکیل میدهد.
Definition
حلکنندههای میدان با روش اجزای محدود و شبکهای، روشهای عددی هستند که با نمایش میدان توسط توابع پایه محلی بر روی یک مش از عناصر یا سلولهای شبکهای، راهحل معادلات دیفرانسیل جزئی میدان را تقریب میزنند و منجر به یک سیستم جبری بزرگ برای حل میشوند.
Scope
این موضوع به حل مسائل میدان پیوسته کلاسیک مبتنی بر شبکه میپردازد: روش اجزای محدود با فرمولبندی ضعیف و توابع پایه آن بر روی مشهای نامنظم، جایگزینهای تفاضل محدود و حجم محدود، و مونتاژ و حل سیستمهای خطی بزرگ و تنک حاصل. این موضوع به مسائل میدان ایستا و وابسته به زمان در هندسههای عمومی میپردازد.
Core questions
- چگونه روش اجزای محدود یک معادله میدان را از طریق فرمولبندی ضعیف به یک سیستم جبری تبدیل میکند؟
- چگونه توابع پایه بر روی یک مش نامنظم میدان را نمایش میدهند؟
- روشهای اجزای محدود، تفاضل محدود و حجم محدود چگونه با یکدیگر مقایسه میشوند؟
- سیستمهای بزرگ و تنک حاصل چگونه مونتاژ و حل میشوند؟
Key theories
- فرمولبندی ضعیف و روش گالرکین
- معادله میدان در یک فرم ضعیف انتگرالی بازنویسی میشود و راهحل در توابع پایه محلی بسط داده میشود، با شرط گالرکین که یک سیستم خطی تنک برای مقادیر گرهی تولید میکند.
- مشبندی نامنظم
- اجزای محدود هندسههای دلخواه را با مثلثها یا چهاروجهیها پوشش میدهند، که امکان پالایش محلی را در جایی که میدان به سرعت تغییر میکند فراهم میآورد و به طور طبیعی مرزهای پیچیدهای را که شبکههای منظم نمیتوانند مدیریت کنند، اداره میکند.
- مونتاژ و حل سیستم تنک
- مشارکتهای عناصر در یک ماتریس سختی سراسری تنک مونتاژ میشوند و میدان با حل سیستم خطی با حلکنندههای تنک مستقیم یا تکراری یافت میشود.
Clinical relevance
حلکنندههای اجزای محدود و شبکهای میدانهای الکترومغناطیسی، تنش و تغییر شکل در سازهها، انتقال حرارت و جریان سیال را محاسبه میکنند و در سراسر الکترومغناطیس محاسباتی، مکانیک سازه و فیزیک مهندسی بنیادی هستند.
History
روش اجزای محدود در دهههای ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰ از مهندسی سازه نشأت گرفت، با ریشههای ریاضی در کارهای واریانسی اولیه کورانت، و با بلوغ قدرت محاسباتی و ابزارهای مشبندی به الکترومغناطیس، انتقال حرارت و دینامیک سیالات گسترش یافت.
Key figures
- Olgierd Zienkiewicz
- Richard Courant
- Jian-Ming Jin
Related topics
Seminal works
- zienkiewicz2013
- jin2014
Frequently asked questions
- چه زمانی اجزای محدود بر تفاضل محدود ترجیح داده میشوند؟
- اجزای محدود در هندسههای پیچیده یا منحنی و در جایی که پالایش مش محلی مورد نیاز است، برتری دارند، زیرا آنها اشکال دلخواه را با مشهای نامنظم پوشش میدهند. تفاضل محدود سادهتر و کارآمدتر بر روی شبکههای منظم و دامنههای ساده هستند.
- فرمولبندی ضعیف چیست؟
- این یک بازنویسی انتگرالی و میانگینگیری شده از یک معادله دیفرانسیل است که از راهحل میخواهد معادله را در برابر توابع آزمون به جای هر نقطه برآورده کند. این امر الزامات همواری را کاهش میدهد و اساس ریاضی است که روش اجزای محدود را عملی میسازد.